题目内容
【题目】如图所示，足够长的平直轨道AO和OB底端平滑对接，将它们固定在同一竖直平面内，两轨道与水平地面间的夹角分别为α（固定不变）和β（可取不同的值），且α＞β，现将可视为质点的一小滑块从左侧轨道的P点由静止释放，若小滑块经过两轨道的底端连接处的速率没有变化。已知AO轨道光滑，空气阻力可以忽略不计。
（1）论证：滑块在AO轨道下滑时的加速度与滑块的质量无关；
（2）运用牛顿运动定律和运动学规律，论证：若OB光滑，取不同的β角，滑块在OB上能到达的最高点总与P等高；
（3）运用动能定理和机械能的相关定义，论证：若OB光滑，保持β角不变，滑块在OB上运动的过程中机械能守恒。
【答案】（1）论证过程如解析过程；（2）论证过程如解析过程所示；（3）论证过程如解析过程。
【解析】
（1）滑块的受力图（如下面左图），沿斜面和垂直斜面建坐标轴（如下面右图），
根据牛顿第二定律可得：mgsinα＝maA，
解得aA＝gsinα，可知与质量无关；
（2）设P点的高度为H，滑块到O点时的速度大小为v0，则根据匀变速直线运动规律有：
类似（1）受力分析，运用牛顿第二定律，可得滑块在OB上滑时的加速度大小为：aB＝gsinβ
设上升的最大高度为h，则由匀变速直线运动规律可知：
解得
所以有h＝H，这一结论与β无关，故滑块在OB上能到达的最高点总与P等高；
（3）设滑块到O点时的速度大小为v0，从O到OB上的某点K的过程中，上升的高度为hx，根据动能定理：
即
也即
上式左边即为滑块在任意点K所具有的机械能，右边为在O点的动能。
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