Question

11．“自发电”地板是利用游人走过此处，踩踏地板发电．地板下有一发电装置，如图1所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，无摩擦地套在磁场方向呈辐射状的永久磁铁槽中．磁场的磁感线沿半径方向均匀对称分布，图2为横截面俯视图．轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧（图中只画出其中的两个），轻质硬杆P将地板与线圈连接，从而带动线圈上下往返运动（线圈不发生形变）便能发电．若线圈所在位置磁感应强度大小为B，线圈的总电阻为R₀，现用它向一个电阻为R的小灯泡供电．为便于研究，将某人走过时对板的压力使线圈发生的位移x随时间t变化的规律简化为图3所示．（弹簧始终处在弹性限度内，取线圈初始位置x=0，竖直向下为位移的正方向．线圈运动的过程中，线圈所在处的磁场始终不变）

（1）请在图4所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图象，取图2中逆时针电流方向为正方向，要求写出相关的计算和判定的过程．
（2）t=$\frac{{t}_{0}}{2}$时地板受到的压力．
（3）求人一次踩踏地板所做的功．

Answer 1

分析 （1）由右手定则可知线圈中电流的方向，由图可知线圈做匀速直线运动，由E=BLV可求线圈的电动势，闭合电路欧姆定律可得出电流的大小；
（2）由安培力公式求得$\frac{{t}_{0}}{2}$是时刻线圈受到的安培力，由受力平衡可求得地板受到的压力；
（3）在踩踏过程中弹力做功为零，人做的功转化为电能，由能量守恒可求得人所做的功．

解答 解
（1）0～t₀时间内电流方向为正方向，t₀到2t₀时间内电流方向为负方向；
0～t₀、t₀～2t₀时间内线圈向下、向上运动的速率均为$v=\frac{x_0}{t_0}$
全程产生的感应电动势大小均为E=nB2πr•v
又$I=\frac{E}{{R+{R_0}}}$
联立以上方程得$I=\frac{{2πnBr{x_0}}}{{（R+{R_0}）{t_0}}}$
线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图所示．
（2）0～t₀时间内安培力方向向上，且${F_安}=nBI•2πr=\frac{{{{（2πBnr）}^2}{x_0}}}{{（R+{R_0}）{t_0}}}$
$\frac{t_0}{2}$时刻地板受到的压力${F_N}=4k\frac{x_0}{2}+{F_安}$
得${F_N}=2k{x_{•0}}+\frac{{{{（2πnBr）}^2}{x_0}}}{{（R+{R_0}）{t_0}}}$
（3）全过程中弹力做功为零，则由功能关系可得$W={E_电}={I^2}（R+{R_0}）•2{t_0}$
$W=\frac{{8{π^2}{n^2}{B^2}{r^2}x_0^2}}{{（R+{R_0}）{t_0}}}$
答：（1）在图4所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图象如图．
（2）t=$\frac{{t}_{0}}{2}$时地板受到的压力是$2k{x}_{•0}+\frac{{（2πnBr）}^{2}{x}_{0}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$．
（3）人一次踩踏地板所做的功是$\frac{8{π}^{2}{n}^{2}{B}^{2}{r}^{2}{x}_{0}^{2}}{（R+{R}_{0}）{t}_{0}}$．

点评 本题巧妙地将我们所常见的导体切割磁感线类题目变形，由直线变成了曲线，但解法不变；解题的关键在于理确题目中线圈与磁场的关系、能量转化的关系．