Question

如图所示，倾角为θ=30°的光滑斜面体P的底端带有固定挡板C，P和C的总质量为M．劲度系数为k的轻质弹簧两端连接质量均为m的小物块A和B，B紧靠着挡板．一轻质细绳通过定滑轮，一端系在物块A上，另一端系一细绳套（细绳与斜面平行，不计绳与滑轮间的摩擦，细绳套离地面足够高）．开始时，斜面体P、物块A、B静止在光滑水平面上，细绳处于伸直状态．

（1）现开始用一水平力F作用于P，且能使物块B刚要离开挡板C。求此时力Ｆ的大小及从开始到此时物块Ａ相对斜面体Ｐ的位移的大小d；

（2）若将斜面体P固定在水平面上,当在细绳套上轻轻挂上一个物体D后由静止释放，物体B恰能离开C，求物体D的质量m_D；

（3）若将斜面体P固定在水平面上,当在细绳套上轻轻挂一个质量也为m的物体Q后由静止释放，求物体A能达到的最大速度。

Answer 1

(1)开始时，弹簧压缩了x₁,则对A有：

kx₁＝mgsinθ

当B刚要离开C时，由于A、B的质量相等，合力也相同，所以弹簧无形变。

从开始到此时物体Ａ相对斜面体Ｐ的位移大小d= x₁==.

对P、A、B用整体法分析，根据牛顿第二定律得：F=（M+2m）a,

   对A、B用整体法分析有：2mgtanθ=2ma

    解得：F=（M+2m）g tanθ=.

（2）物体B恰好离开挡板C时，弹簧伸长了x₂，则

Kx₂＝mgsin30⁰

∴x₂＝x₁，即弹性势能不变

由机械能守恒得：

m_Dg（x₁＋x₂）=m_Ag· sin30⁰（x₁＋x₂）

解得  m_D＝m

（3）当物体A受到的加速度为0时，速度最大，此时Q的加速度也为0

挂物体Q前，弹簧被压缩了x₁，                                                 

当物体A受到的合力为0时，设弹簧被拉伸了x₃，则

Kx₃＋mgsin30⁰＝mg

由上可知x₁＝x₃，即弹性势能不变，且此时B的速度仍为0

设物体A的最大速度为v_m，由机械能守恒定律得

m_Qg（x₁＋x₃）－m_Ag sin30⁰（x₁＋x₃）＝（m_Q＋m_A）v_m²  

解得：v_m＝