题目内容
【题目】1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地利用带电粒子在磁场中运动特点，解决了粒子的加速问题。现在回旋加速器被广泛应用于科学研究和医学设备中。回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，加速器接一定频率的高频交流电源，保证粒子每次经过电场都被加速，加速电压为U。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为q，初速度不计，在加速器中被加速，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
（1）求第1次被加速后粒子的速度大小为v；
（2）经多次加速后，粒子最终从出口处射出D形盒，求粒子射出时的动能
和在回旋加速器中运动的总时间t；
（3）近年来，大中型粒子加速器往往采用多种加速器的串接组合。例如由直线加速器做为预加速器，获得中间能量，再注入回旋加速器获得最终能量。
个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图乙所示（图中只画出了六个圆筒，作为示意）。各筒相间地连接到频率为
、最大电压值为
的正弦交流电源的两端。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔。现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间的缝隙的时间可以不计。已知离子进入第一个圆筒左端的速度为
，且此时第一、二两个圆筒间的电势差
。为使打到靶上的离子获得最大能量 ，各个圆筒的最小长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
，
【解析】（1）粒子第1次被加速后，
，
；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当运动轨迹的半径
时，粒子的速度最大，
动能最大，设最大速度为
，有
，
粒子获得的最大动能
，
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次。设粒子到出口处被加速了n次，
，解得
，
带电粒子在磁场中运动的周期为
，
粒子在磁场中运动的总时间
；
（3）为使正离子获得最大能量，要求离子每次穿越缝隙时，前一个圆筒的电势比后一个圆筒的电势高U，这就要求离子穿过每个圆筒的时间都恰好等于交流电的半个周期。由于圆筒内无电场，离子在筒内做匀速运动。
设离子在第n个圆筒内的速度为
，第n个圆筒的长度为
，则有
，
，
，
第n个圆筒的长度应满足的条件为，
打到靶上的离子的能量为。
