题目内容

6．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在磁场中运动的周期；
（2）从P点经过边界一次到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子的速度，然后求出周期．
（2）作出速度最大时粒子的运动轨迹，然后求出粒子的轨道半径，再求出粒子的速度与运动时间．
（3）根据题意作出粒子可能的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析得出粒子运动的可能的情况，然后由几何知识分析轨迹半径的最大值，由半径公式求出速度的最大值．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$B{v_0}q=m\frac{v_0^2}{r}$，周期：$T=\frac{2πr}{v_0}$，则周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$；
（2）粒子做圆周运动的轨道半径：r=$\frac{mv}{qB}$，粒子速度越大，粒子轨道半径越大，
粒子速度最大时，从P点经过边界一次到Q点，粒子的运动轨迹如图所示：

由几何知识可知，粒子轨道半径：r=R，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得，粒子最大速度：v=$\frac{qBR}{m}$，
粒子做圆周运动的周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$，
粒子的运动时间：t=t1+t2=$\frac{3}{4}$T+$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4，．．）
设每等份圆弧所对圆心角为2θ，
由几何知识可得θ=$\frac{π}{2n}$，tanθ=$\frac{r}{R}$，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：v0=$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$（n=2、3、4、…），
当n为偶数时，由对称性可得t=$\frac{nT}{2}$=$\frac{nπm}{qB}$（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时．t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，
即t=$\frac{n-1}{2}$T+$\frac{π+\frac{π}{n}}{2π}$T=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$（n=3、5、7…），

设x为O到粒子运动轨迹的圆心的距离，
由几何知识得：r=Rtan$\frac{π}{2n}$，x=$\frac{R}{cos\frac{π}{2n}}$，
要不超出边界须有：$\frac{R}{cos\frac{π}{2n}}$+Rtan$\frac{π}{2n}$＜2R，
解得：2cos$\frac{π}{2n}$＞1+sin$\frac{π}{2n}$，
当n=2时不成立，如图（b）所示
 
比较当n=3、n=4时的运动半径，可知：当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan$\frac{π}{2n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，可得：v0=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；

答：（1）带电粒子在磁场中作圆周运动的周期为$\frac{2πm}{qB}$．
（2）从P点经过边界一次到Q点，微粒的运动速度大小是$\frac{qBR}{m}$，运动时间是$\frac{2πm}{qB}$；
（3）上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，其速度的最大值为$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，应用牛顿第二定律即可正确解题，根据题意作出粒子运动轨迹，结合题意找出相应的临界条件是正确解题的前提与关键．

练习册系列答案
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（　　）
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