Question

（2005?浦东新区二模）如图甲所示，A和B是长为L、间距为d的平行金属板，靶MN垂直固定在它们的右端．在A、B板上加上方形波电压，如图乙所示．电压的正向值为U₀，反向值为

UO

2

，周期为T．现有质量为m、带电量为+q的粒子连续从AB的中点O以平行于金属板的方向射入．设所有粒子都能穿过电场打到靶上，而且每个粒子在AB间的飞行时间均为T，不计粒子重力的影响．试问：

（1）粒子射入平行金属板时的速度多大？
（2）t=

T

2

时刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O’多远？
（3）t=

T

2

时刻入射的粒子打到靶上时动能多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中受到竖直向下的电场力，水平方向不受力而做匀速直线运动，由T=

L

v

可求速度；
（2）入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O′多远与粒子竖直方向的分位移有关．分析粒子在竖直方向的运动：

T

2

～T时间内，粒子向上作初速为零的匀加速运动，在T～

3

2

T时间内，由于此时的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上减速后向下加速，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求竖直方向的总位移，即可确定粒子打到靶上的位置；
（3）运用运动学速度公式，求出粒子竖直方向的分速度，再由速度的合成求出的粒子打到靶上时动能．

解答：解：（1）粒子在水平方向粒子作匀速直线运动，则有：v₀=

L

T

（2）在竖直方向，从

T

2

～T时间内，粒子向上作初速为零的匀加速运动，有
  a=

q U0 2

md

=

qU0

2md

则粒子竖直方向上的位移 s₁=

1

2

a(

T

2

)2=

qU0T2

16md

粒子在T～

3

2

T时间内，由于此时的加速度大小a′=2a，所以粒子先向上减速后向下加速，此阶段竖直方向的位移s₂=0．
综上所述，有竖直方向上总位移  s_总=s₁+s₂=

qU0T2

16md

（3）在竖直方向，从

T

2

～T时间内，有
  v_y1=a?

T

2

=

qU0T

4md

在

T

2

～T时间内，粒子以加速度a′=2a向上作类竖直上抛运动，有
  v_y2=v_y1-a′?

T

2

=

qU0T

4md

-

qU0

md

?

T

2

=-

qU0T

4md

带电粒子在水平方向一直作匀速直线运动，所以带电粒子穿过电场后打到靶上的动能为
 E_k=

1

2

m(

v

2 0

+

v

2 y2

)=

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)=

mL2

2T2

+

q2 U 2 0 T2

32md2

=

16m2d2L2+q2 U 2 0 T4

32md2T2

答：
（1）粒子射入平行金属板时的速度为

L

T

．
（2）t=

T

2

时刻入射的粒子打到靶上的位置距靶中心点O′是

qU0T2

16md

．
（3）t=

T

2

时刻入射的粒子打到靶上时动能为

16m2d2L2+q2 U 2 0 T4

32md2T2

．

点评：本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键，并能运用牛顿第二定律和运动学结合进行求解．