Question

7．有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T．求：
（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度；
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小；
（3）在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长．（此探测器观测不受日照影响，不考虑大气对光的折射）

Answer 1

分析 （1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿运动定律列式求解；
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时速度大小可由圆周运动的公式v=$\frac{2πr}{T}$求解；
（3）作出观测到赤道上的弧长的图形，根据几何关系求解．

解答 解：（1）设卫星质量为m，卫星绕地球运动的轨道半径为r，根据万有引力定律和牛顿运动定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$
则卫星绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度 h=r-R=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
（2）设卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为v，则有：v=$\frac{2πr}{T}$=$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$
（3）设宇宙飞船在地球赤道上方A点处，距离地球中心为2R，飞船上的观测仪器能观测到地球赤道上的B点和C点，能观测到赤道上的弧长是L_BC，
cosα=$\frac{R}{2R}$=$\frac{1}{2}$，
得：α=60°
能观测到地球表面赤道的最大长度L_BC=$\frac{2πR}{3}$
答：
（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R；
（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$；
（3）能观测到地球表面赤道的最大长度为$\frac{2πR}{3}$．

点评 探测卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力定律得卫星受到的万有引力，掌握圆周运动的公式的应用，根据万有引力提供圆周运动向心力求解，掌握基本规律是解决问题的基础，本题属于基础题不难．