Question

如图所示为示波管的示意图，竖直偏转电极的极板长l=4.0cm，两板间距离d=1.0cm，极板右端与荧光屏的距离L=18cm．由阴极发出的电子经电场加速后，以v=1.6×10⁷ m/s沿中心线进入竖直偏转电场．若电子由阴极逸出时的初速度、电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计，已知电子的电荷量e=1.6×10^-19 C，质量m=0.91×10^-30 kg．
（1）求加速电压U₀的大小；
（2）要使电子束不打在偏转电极的极板上，求加在竖直偏转电极上的电压应满足的条件；
（3）在竖直偏转电极上加u=40sin100πt（V）的交变电压，求电子打在荧光屏上亮线的长度．

Answer 1

分析：（1）电子在加速电场中，电场力做正功eU₀，根据动能定理求解加速电压U₀的大小．
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，电子刚好飞出偏转电场时，偏转距离为

d

2

．由牛顿第二定律和运动学公式求解竖直偏转电极上的电压．
（3）由u=40sin100πt（V）可知ω=100πrad/s，最大电压为U_m=40V．偏转电场变化的周期T=

2π

ω

=0.02s，t=

l

v

=2.5×10^-9 s．T＞＞t，则每个电子通过偏转电场的过程中，电场可视为稳定的匀强电场．当极板间加最大电压时，电子有最大偏转量，由牛顿第二定律和运动学公式电子通过偏转电压时最大偏转距离．电子离开电场后做匀速直线运动，水平方向的分速度等于v，电子离开偏转电场到达荧光屏的时间 t′=

L

vx

=

L

v

，电子离开偏转电场后在竖直方向的位移为y₂=v_y t′，打在荧光屏上的总偏移量Y_m=y_m+y₂，打在荧光屏产生亮线的长度为2Y_m．

解答：解：（1）对于电子通过加速电场的过程，根据动能定理有 eU₀=

1

2

mv²
解得U₀=728V
（2）设偏转电场电压为U₁时，电子刚好飞出偏转电场，则此时电子沿电场方向的位移恰为

1

2

d，
即

d

2

=

1

2

at2=

1

2

?

eU1

md

t2
电子通过偏转电场的时间t=

l

v

解得 U1=

d2m

et2

=91V，
所以，为使电子束不打在偏转电极上，加在偏转电极上的电压U应小于91V．
（3）由u=40sin100πt（V）可知ω=100πrad/s，U_m=40V
偏转电场变化的周期T=

2π

ω

=0.02s，而t=

l

v

=2.5×10^-9 s．T＞＞t，可见每个电子通过偏转电场的过程中，电场可视为稳定的匀强电场．
当极板间加最大电压时，电子有最大偏转量y_m=

1

2

eUm

md

t2=0.20cm．
电子飞出偏转电场时平行极板方向分速度v_x=v，
垂直极板方向的分速度v_y=a_yt=

eUm

md

t
电子离开偏转电场到达荧光屏的时间 t′=

L

vx

=

L

v

电子离开偏转电场后在竖直方向的位移为y₂=v_y t′=2.0cm
电子打在荧光屏上的总偏移量Y_m=y_m+y₂=2.2cm
电子打在荧光屏产生亮线的长度为2Y_m=4.4cm．
答：
（1）加速电压U₀的大小为728V；
（2）要使电子束不打在偏转电极的极板上，加在竖直偏转电极上的电压应满足的条件应小于91V；
（3）在竖直偏转电极上加u=40sin100πt（V）的交变电压，电子打在荧光屏上亮线的长度是4.4cm．

点评：本题中电子在加速电场中由动能定理求加速获得的速度，运用运动的分解法研究类平抛运动．第3问也可以用下面的方法求解：设电子在偏转电场有最大电压时射出偏转电场的速度与初速度方向的夹角为θ，则tanθ=

vy

vx

=0.11，电子打在荧光屏上的总偏移量Y_m=(

l

2

+L)tanθ=2.2cm，电子打在荧光屏产生亮线的长度为2Y_m=4.4cm．