题目内容
当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据| 小球编号 | A | B | C | D | E |
| 小球的半径（×10-3m） | 0.5 | 0.5 | 1.5 | 2 | 2.5 |
| 小球的质量（×10-6kg） | 2 | 5 | 45 | 40 | 100 |
| 小球的收尾速度（m/s） | 16 | 40 | 40 | 20 | 32 |
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
【答案】分析：（1）小球达到收尾速度时，小球做匀速直线运动，阻力与重力二力平衡．由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系：v=
．
（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．
解答：解：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
f=mg ①
则 fB：fC=mB：mC ②
代入数据得 fB：fC=1：9 ③
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即f∝v ④
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r2 ⑤
得 f=kvr2 ⑥
将E组数据代入解得 k=4.9Ns/m3 ⑦
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
mCg+mDg=fC+fD ⑧
即 mCg+mDg=kv（rC2+rD2） ⑨
代入数据得 v=27.2m/s ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
答：（1）B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为1：9．
（2）球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m3．
（3）将C号和D号小球用轻质细线连接，它们的收尾速度为27.2m/s，C球先落地．
点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系：v=
．（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．
解答：解：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
f=mg ①
则 fB：fC=mB：mC ②
代入数据得 fB：fC=1：9 ③
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即f∝v ④
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r2 ⑤
得 f=kvr2 ⑥
将E组数据代入解得 k=4.9Ns/m3 ⑦
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
mCg+mDg=fC+fD ⑧
即 mCg+mDg=kv（rC2+rD2） ⑨
代入数据得 v=27.2m/s ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
答：（1）B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为1：9．
（2）球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m3．
（3）将C号和D号小球用轻质细线连接，它们的收尾速度为27.2m/s，C球先落地．
点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．
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