题目内容

当物体从高空下落时,所受阻力会随物体的速度增大而增大,因此经过下落一段距离后将匀速下落,这个速度称为此物体下落的收尾速度.研究发现,在相同环境条件下,球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关.下表是某次研究的实验数据
小球编号 A B C D E
小球的半径(×10-3m) 0.5 0.5 1.5 2 2.5
小球的质量(×10-6kg) 2 5 45 40 100
小球的收尾速度(m/s) 16 40 40 20 32
(1)根据表中的数据,求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比.
(2)根据表中的数据,归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系(写出有关表达式、并求出比例系数).
(3)现将C号和D号小球用轻质细线连接,若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同.让它们同时从足够高的同一高度下落,试求出它们的收尾速度;并判断它们落地的顺序(不需要写出判断理由).
分析:(1)小球达到收尾速度时,小球做匀速直线运动,阻力与重力二力平衡.由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比.
(2)由小球A、B、C、E的实验数据,归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系:v=
2m
r2

(3)将C号和D号小球用细线连接后,求出它们的收尾速度,判断下落的先后顺序.
解答:解:(1)球在达到终极速度时为平衡状态,有
        f=mg                                           ①
则   fB:fC=mB:mC                                  ②
代入数据得    fB:fC=1:9                          ③
(2)由表中A、B球的有关数据可得,阻力与速度成正比;即f∝v    ④
由表中B、C球有关数据可得,阻力与球的半径的平方成正比,即f∝r2
得          f=kvr2
将E组数据代入解得   k=4.9Ns/m3                         ⑦
(3)将C号和D号小球用细线连接后,其收尾速度应满足
   mCg+mDg=fC+fD                                  ⑧
即    mCg+mDg=kv(rC2+rD2)                               ⑨
代入数据得  v=27.2m/s                                       ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径,可判断C球先落地.
答:(1)B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为1:9.
(2)球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m3
(3)将C号和D号小球用轻质细线连接,它们的收尾速度为27.2m/s,C球先落地.
点评:从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键,也是比较困难的.
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