题目内容
【题目】如图所示，一质量为
的小球置于半径为
的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，C、D为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O点，另一端与小球栓接，已知弹簧的劲度系数为
，原长为
，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度
，已知重力加速度为
，则（ ）
A. 无论多大，小球均不会离开圆轨道
B. 若在
则小球会在B、D间脱离圆轨道
C. 只要
，小球就能做完整的圆周运动
D. 只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与无关
【答案】AD
【解析】
因弹簧的劲度系数为k=mg/R，原长为L=2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F=k（2R-R）=kR=mg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力（在CD以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力），所以无论v多大，小球均不会离开圆轨道，故A正确，B错误。小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有：
mv2＝2mgR，所以只要v0＞
，小球就能做完整的圆周运动，故C错误。在最低点时，设小球受到的支持力为N，有：N-kR-mg=m
，
解得：N=2mg+m…①
运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N′，设此时的速度为v，由机械能守恒有：
mv2＝2mgR+
…②
此时合外力提供向心力，有：N′-kR+mg=m
…③
联立②③解得：N′=m4mg…④
联立①④得压力差为：△N=6mg，与初速度无关，故D正确。故选AD。
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