题目内容

9.光滑水平面上排列着三个等大的球心共线的弹性小球,质量分别为m1、m2、m3.现给1号球一个水平速度v0.于是,1号球与2号球、2号球与3号球依次发生碰撞,碰撞过程无机械能守恒.(即完全弹性碰撞)
①求最终三个球的速度.(每两个球只发生一次碰撞)
②若1、3号球质量m1,m3已知,要3号球碰后速度最大,则2号球质量m2为多大.

分析 (1)任意两球碰撞过程动量守恒、机械能守恒,由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出球的速度.
(2)根据3号球的速度表达式应用数学知识求出何时它的速度最大.

解答 解:(1)m1、m2碰撞过程系统动量守恒,以m1的初速度方向为正方向,
由动量守恒定律得:m1v0=m1v1+m2v,
由机械能守恒定律得:$\frac{1}{2}$m1v02=$\frac{1}{2}$m1v12+$\frac{1}{2}$m2v2
解得:v1=$\frac{{(m}_{1}-{m}_{2}){v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$,v=$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$;
m2、m3碰撞过程系统动量守恒,以m2的初速度方向为正方向,
由动量守恒定律得:m2v=m2v2+m3v3
由机械能守恒定律得:$\frac{1}{2}$m2v2=$\frac{1}{2}$m2v22+$\frac{1}{2}$m3v32
解得:v2=$\frac{2{m}_{1}({m}_{2}-{m}_{3}){v}_{0}}{({m}_{1}+{m}_{2})({m}_{2}+{m}_{3})}$,v3=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$;
(2)由(1)可知,v3=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$,
当m2=$\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}$时,v3的值最大,m2=$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$;
答:(1)最终三个球的速度大小分别为$\frac{{(m}_{1}-{m}_{2}){v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$、$\frac{2{m}_{1}({m}_{2}-{m}_{3}){v}_{0}}{({m}_{1}+{m}_{2})({m}_{2}+{m}_{3})}$、$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$;
(2)2号球质量m2为$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$时3号球碰后速度最大.

点评 本题考查了求球的速度,分析清楚球的运动过程,应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题.

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