Question

8．如图所示，质量是1kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距地面高度为h=2.2m，如果使小球绕OO′轴载水平面内做圆周运动，其角速度缓慢增大，若细线最大承受拉力为T_m=12.5N．求：
（1）当小球的角速度为多大时，线将断裂；
（2）断裂后小球落地点与悬点的水平距离．（g=10m/s²，两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根据几何关系求出最大向心力，根据向心力公式求出最大角速度；
（2）绳断裂后，小球做平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解．

解答 解：（1）小球在水平面内做圆周运动时，由重力G和拉力F的合力提供向心力，当绳子拉力为12.5N时，向心力最大，则有：${F}_{合}=\sqrt{{{T}_{m}}^{2}-（mg）^{2}}$=$\sqrt{12．{5}^{2}-1{0}^{2}}$N=7.5N．
设绳子与竖直方向的夹角为θ，$sinθ=\frac{{F}_{合}}{{T}_{m}}=\frac{7.5}{12.5}=\frac{3}{5}$，
根据几何关系知，小球做圆周运动的半径r=Lsinθ=$0.5×\frac{3}{5}m=0.3m$，
根据${F}_{合}=mr{ω}^{2}$得，$ω=\sqrt{\frac{{F}_{合}}{mr}}=\sqrt{\frac{7.5}{1×0.3}}rad/s=5rad/s$．
（2）绳断裂后，小球做平抛运动，初速度v=ωr=0.3×5m/s=1.5m/s，
竖直方向下落的高度H=h-Lcosθ=2.2-0.5×$\frac{4}{5}$m=1.8m，
根据H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}s=0.6s$，
则平抛运动的水平位移x=vt=1.5×0.6m=0.9m，
根据平行四边形定则知，断裂后小球落地点与悬点的水平距离s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{0．{9}^{2}+0．{3}^{2}}$m=0.95m．
答：（1）当小球的角速度为5rad/s时，线将断裂；
（2）断裂后小球落地点与悬点的水平距离为0.95m．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．