题目内容
某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s．比赛时．某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ0，如图所示，设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g．
（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．
（1）求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
（2）求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
（3）整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件．
（1）在匀速运动阶段，有mgtanθ0=kv0
得k=
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=
+
tanθ0
（3）以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F=
球拍倾角为θ0+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有
Fsinβ=ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有t=
-
球不从球拍上掉落的条件
a′t2≤r
得sinβ≤
答：（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k为
；
（2）在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式为tanθ=
+
tanθ0；
（3）β应满足的条件为sinβ≤
．
得k=
| mgtanθ0 |
| v0 |
（2）加速阶段，设球拍对球的支持力为N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=
| a |
| g |
| v |
| v0 |
（3）以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有F=
| mg |
| cosθ0 |
球拍倾角为θ0+β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有
Fsinβ=ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有t=
| s |
| v0 |
| v0 |
| 2a |
球不从球拍上掉落的条件
| 1 |
| 2 |
得sinβ≤
| 2rcosθ0 | ||||
g(
|
答：（1）空气阻力大小与球速大小的比例系数k为
| mgtanθ0 |
| v0 |
（2）在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式为tanθ=
| a |
| g |
| v |
| v0 |
（3）β应满足的条件为sinβ≤
| 2rcosθ0 | ||||
g(
|
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