Question

14．如图所示，在光滑的水平面上有一辆小车处于静止状态，小车的上表面左端AB部分是水平的轨道，右侧BC是一段光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，圆弧的底端恰好与AB段相切，小车质量M=8kg，现有一质量m=2kg的物块，以初速度v₀=10m/s从A点冲上小车，并沿BC上滑，然后恰好沿轨道返回到A点，已知物块与小车上表面AB部分的动摩擦因数μ=0.2，求：
（1）小物块返回到A点的速度大小；
（2）小车上表面AB部分的长度l；
（3）要使物块不从C点冲出，$\frac{1}{4}$圆弧BC的半径R的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物块恰好返回到A点，所以小物块返回到A点时和小车的速度相同，结合动量守恒定律求出小物块返回到A点的速度大小．
（2）根据能量守恒定律求出小车上表面AB部分的长度l．
（3）当圆弧半径最小时，小物块在圆弧BC上运动到最高点C时，水平方向上的速度与小车相同，竖直方向上的速度为零，结合动量守恒定律和能量守恒定律求出$\frac{1}{4}$圆弧BC的半径R的最小值．

解答 解：（1）小物块和小车组成的系统在水平方向上的动量是守恒的，小物块恰好返回到A点，所以小物块返回到A点时和小车的速度相同，设它们的共同速度为v，则有：
mv₀=（m+M）v，
代入数据解得v=2m/s．
（2）小物块返回到A点时，小物块的动能减少，小车的动能增加，系统的内能增加，由能量守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}=μmg•2l$，
代入数据解得l=10m．
（3）小物块在圆弧BC上运动到最高点C时，水平方向上的速度与小车相同，竖直方向上的速度为零，此时小物块刚好不冲出小车，圆弧半径最小，由于小物块和小车组成的系统在水平方向上动量守恒，规定向右为正方向，有：
mv₀=（m+M）v′，
代入数据解得v′=2m/s．
小物块沿圆弧BC上运动到最高点C的过程中，小物块的动能减少，重力势能增加，小车的动能增加，由能量守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$=μmgl+mgR_min，
代入数据解得R_min=2m．
答：（1）小物块返回到A点的速度大小为2m/s；
（2）小车上表面AB部分的长度l为10m；
（3）要使物块不从C点冲出，$\frac{1}{4}$圆弧BC的半径R的最小值为2m．

点评 本题是系统的水平方向动量守恒和能量守恒的问题，要注意系统的总动量并不守恒，但是在水平方向上的动量是守恒的，抓住临界状态，列方程求解，难度中等．