Question

利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处．如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ=0.25．皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v=4m/s，两轮轴心相距L=5m，B、C分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量m=lkg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v₀=8m/s，AB间的距离s=lm．工件可视为质点，g取l0m/s²．  （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）弹簧的最大弹性势能
（2）工件沿传送带上滑的时间
（3）若传送装置顺时针匀速转动的速度v可在v＞4m/s的范围内调节，试推导工件滑动到C点时的速度v_c随速度v变化的关系式．

Answer 1

（1）弹簧的最大弹性势能为Ep=mgssin37°+

1

2

mv02
解得E_P=38J．
（2）工件沿传送轨道减速向上滑动的过程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
与传送带共速需要的时间t1=

v0-v

a1

=0.5s．
工件滑行的位移大小s1=

v02-v2

2a1

=3m＜L．
因为μ＜tan37°，所以工件将沿传送带继续减速上滑．
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
假设工件速度减为零时，工件未从传送带上滑落，则t2=

v

a2

=1s．
工件滑行的位移大小s2=

v2

2a2

=2m=L-s1
故假设成立，工件沿传送带上滑的时间t=t₁+t₂=1.5s．
（3）当传送带速度在4m/s＜v＜8m/s的范围内调节时，工件先以加速度a₁减速向上滑行s1′=

v02-v2

2a1

．
当速度减到v后又以加速度a₂减速向上滑行L-s1′=

v2-vC2

2a2

工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式vc=

v2 2 -8

当传送带的速度v≥8m/s的范围内调节时，工件将沿传送带以加速度a₂减速滑行到C点
vc2-v02=2a2L
工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式vc=2

6

m/s．
答：（1）弹簧的最大弹性势能为38J．
（2）工件沿传送带上滑的时间为1.5s．
（3）当传送带速度在4m/s＜v＜8m/s时，工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式vc=

v2 2 -8

，当传送带的速度v≥8m/s时，工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式vc=2

6

m/s．