Question

如图（a）所示，小球甲可定于足够长光滑水平面的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在光滑水平面上滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化．现已测出甲固定于x=0时势能随位置x的变化规律如图中曲线所示．已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，直线为势能变化曲线的渐近线．
试求：（1）若将甲、乙两小球同时从x=0和x=8由静止释放，设甲球的质量是乙球的2倍，当乙球的速率为0.2m/s时甲球的速率为多大．
（2）若将甲固定于x=0，小球从x=8m处释放，求乙球过程的最大速度．
（3若将甲固定于x=0，小球乙在光滑水平面上何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明．

Answer 1

分析：（1）根据动量守恒定律求出当乙球的速率为0.2m/s时甲球的速率．
（2）根据图象求出x=8cm具有的势能，根据能量守恒定律，当乙球速度最大时，势能全部转化为动能，从而求出乙球的最大速度．
（3）在0＜x＜20cm区间内，势能逐渐减小，知两球之间作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力．抓住无穷远处和6cm处的势能均为0.28J，根据能量守恒定律进行分析．

解答：解：（1）由动量守恒定律：
m_甲v_甲-m_乙v_乙=0
∴v_甲=

m乙

m甲

v_乙=0.1m/s
（2）由图可得E_P=0.2J，势能转化为动能
E_P=

1

2

mv²   　　　　　
v=

2EP m

=1m/s   　　
（3）在0＜x＜6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀．
原因：在0＜x＜20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J．若小球乙的静止释放点在6cm＜x＜∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置．而静止释放点在0＜x＜6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次．
答：（1）甲球的速率为0.1m/s．
（2）乙球过程的最大速度为1m/s．
（3）在0＜x＜6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀．

点评：本题综合考查了动量守恒定律和能量守恒定律，综合性较强，以及考查学生的读图能力，这方面需加强训练．