题目内容
【题目】某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示,区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电
场,电场场强E=1.0×103V/m,宽度d=0.05m,长度L=0.40m;区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=2.5×10-2T,宽度D=0.05m,比荷=1.0×108C/kg的带正电的粒子以水平初速度v0从P点射入电场.边界MM′不影响粒子的运动,不计粒子重力.
(1) 若v0=8.0×105m/s,求粒子从区域PP′N′N射出的位置;
(2) 若粒子第一次进入磁场后就从M′N′间垂直边界射出,求v0的大小;
(3) 若粒子从M′点射出,求v0满足的条件.
【答案】(1)0.0125m (2) 3.6×105m/s. (3) 第一种情况:v0= (其中n=0、1、2、3、4)第二种情况:v0= (其中n=0、1、2、3).
【解析】
(1) 粒子以水平初速度从P点射入电场后,在电场中做类平抛运动,假设粒子能够进入磁场,则
竖直方向
得
代入数据解得t=1.0×10-6s
水平位移x=v0t
代入数据解得x=0.80m
因为x大于L,所以粒子不能进入磁场,而是从P′M′间射出,
则运动时间t0==0.5×10-6s,
竖直位移=0.0125m
所以粒子从P′点下方0.0125m处射出.
(2) 由第一问可以求得粒子在电场中做类平抛运动的水平位移x=v0
粒子进入磁场时,垂直边界的速度
v1=·t=
设粒子与磁场边界之间的夹角为α,则粒子进入磁场时的速度为v=
在磁场中由qvB=m得R=
粒子第一次进入磁场后,垂直边界M′N′射出磁场,必须满足x+Rsinα=L
把x=v0、R=、v=、 代入解得
v0=L·-
v0=3.6×105m/s.
(3) 由第二问解答的图可知粒子离MM′的最远距离Δy=R-Rcosα=R(1-cosα)
把R=
可以看出当α=90°时,Δy有最大值,(α=90°即粒子从P点射入电场的速度为零,直接在电场中加速后以v1的速度垂直MM′进入磁场运动半个圆周回到电场)
Δymax=0.04m,Δymax小于磁场宽度D,所以不管粒子的水平射入速度是多少,粒子都不会从边界NN′射出磁场.
若粒子速度较小,周期性运动的轨迹如下图所示:
粒子要从M′点射出边界有两种情况,
第一种情况:
L=n(2v0t+2Rsinα)+v0t
把、R= 、v1=vsinα、 代入解得
v0=×105m/s(其中n=0、1、2、3、4)
第二种情况:
L=n(2v0t+2Rsinα)+v0t+2Rsinα
把 、R=、v1=vsinα、代入解得
v0=×105m/s(其中n=0、1、2、3).