Question

4．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v₀沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l₀）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

Answer 1

分析 （1）将带电粒子的运用沿水平和竖直方向正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向在x轴上下方都做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析；
（2）先画出运动的一般轨迹，要使粒子通过电场后能沿x轴正方向运动，其第一次到达x轴的水平分位移的2n倍等于2l₀，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析即可；
（3）先画出各个粒子的运动轨迹，然后根据题意确定磁场范围，最后根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度．

解答 解：（1）设从A点射入的粒子由A点到A'点的运动时间为t，根据运动轨迹的对成称性有
x方向有：2L₀=v₀t得：t=$\frac{2{l}_{0}}{{v}_{0}}$…①
y方向有：l₀=$\frac{qE}{2m}$（$\frac{t}{2}$）²…②
解得：E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$…③
即从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t为$\frac{2{l}_{0}}{{v}_{0}}$，匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$．
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次到达x轴用时△t，水平分位移△x，
则△x=v₀△t…④
△y=$\frac{qE}{2m}$（△t）²…⑤
要粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须满足条件2l₀=n•2△x（n=1，2，3…）…⑥
联立③④⑤⑥解得：△y=$\frac{1}{{n}^{2}}$l₀…⑦
故粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：y=-$\frac{{l}_{0}}{{n}^{2}}$，（n=1，2，3…）…⑧
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为y₁=l₀…⑨
当n=2时，粒子射出的坐标为y₂=-$\frac{{l}_{0}}{4}$…⑩
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间（如图所示）．
y₁、y₂之间距离为  L=y₁-y₂=$\frac{5{l}_{0}}{4}$…（11）
所以，磁场圆O₁的最小半径R=$\frac{l}{2}$$\frac{5{l}_{0}}{8}$…（12）
若使粒子经磁场后汇集于直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点，分析知此点只能是答图中的Q点，且粒子在磁场中做圆周运动的半径等于磁场区域圆半径．    
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…（13）
联立（12）（13）得：B=$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$…（14）
即磁场区域的最小半径是$\frac{5{l}_{0}}{8}$，相应的磁感应强度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．
答：（1）求匀强电场的电场强度为 $\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}^{\;}}$；
（2）y=-$\frac{{l}_{0}}{{n}^{2}}$，（n=1，2，3…）位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动；
（3）磁场区域的最小半径是$\frac{5{l}_{0}}{8}$，相应的磁感应强度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．

点评 本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．