Question

15．如图，光滑水平地面上有一固定墙壁，紧靠墙面左侧停放一长为L=1m，质量为M=0.2kg的长木板，在距长木板左端为kL（0＜k＜0.5）处放置着A、B两小木块，A、B质量均为m=0.2kg．某时刻，A、B在强大内力作用下突然分开，分开瞬间A的速度为v_A=4m/s，方向水平向左． B与墙壁碰撞瞬间不损失机械能，A、B与长木板间的动摩擦因数分别为μ_A=0.2和μ_B=0.3．
（1）求AB分离瞬间，B的速度v₁；
（2）若k=0.39，求A离开木板时，B的速度大小v₂；
（3）若最终B能够相对木板静止，则k应满足什么条件，并求出最终B所停位置距木板左端距离s和k的关系式．

Answer 1

分析 （1）在A、B分离瞬间，A、B系统动量守恒，根据动量守恒定律求解；
（2）在A离开木板前，B对木板向右的摩擦力大于A对木板向左的摩擦力，所以此时木板处于静止状态．对A，从与B分离到离开木板过程中，做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，再结合运动学基本公式求解；
（3）先根据动能定理判断B能不能在撞墙前停止，再根据木板与B构成的系统动量守恒、能量守恒列式求解．

解答 解：（1）在A、B分离瞬间，A、B系统动量守恒，有
mv_A=mv₁
解得：v₁=4m/s
（2）在A离开木板前，B对木板向右的摩擦力大于A对木板向左的摩擦力，所以此时木板处于静止状态．对A，从与B分离到离开木板过程中，做匀减速直线运动，有
μ_Amg=ma_A
解得：${a}_{A}=2m/{s}^{2}$
根据运动学基本公式得：
$kL={v}_{A}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$
解得：t=0.1s
此过程中，B与A的运动时间相同，假设此时B还没有撞到墙壁．有
μ_Bmg=ma_B
解得：${a}_{B}=3m/{s}^{2}$
根据v₂=v₁-a_Bt
解得：v₂=3.7m/s
而${s}_{B}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=0.385m＜（1-k）L$
假设成立，即此时B速度为v₂=3.7m/s
（3）假设B能在撞到墙壁前停止，则有：
$-{μ}_{B}mgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                                 
解得   s=5.3m＞L，即B不可能在撞墙前停止．             
B撞到墙壁前瞬间速度为v_B，则：
$-{μ}_{B}mg（1-k）L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                  
B撞墙以后后，若B刚好不滑落，则B滑至木板左端时恰好最终达到共同速度v，木板与B构成的系统动量守恒、能量守恒，有
mv_B=（m+M）v，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mgL$                          
解得$k=\frac{1}{3}$
即若木块B不从木板上滑落，需要满足：$k≤\frac{1}{3}$
若停在距左端为S处，则对木板与B，由能量守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mg（L-s）$                    
解得 $s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$，即最终物块B停在距左端为$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$处．
答：（1）AB分离瞬间，B的速度v₁为4m/s；
（2）若k=0.39，求A离开木板时，B的速度大小v₂为3.7m/s；
（3）若最终B能够相对木板静止，则k应满足$k≤\frac{1}{3}$，最终B所停位置距木板左端距离s和k的关系式为$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$．

点评 本题综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律及运动学基本公式，关键是正确分析木块和木板的受力情况和运动情况，能选择合适的定理求解，难度较大．