Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系着一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧的下端连有一质量为m的小球．球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变．若手持挡板A以加速度a（a＜＜gsinθ）沿斜面向下做匀加速运动．
求：（1）从挡板开始运动到球与挡板分离所经历的时间t
（2）从挡板开始运动到小球的速度达到最大，球所经过的路程．

Answer 1

（1）设球与挡板分离时位移为s，经历的时间为t，
从开始运动到分离的过程中，m受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的挡板支持力F₁和弹簧弹力F．
根据牛顿第二定律有 mgsinθ-F-F₁=ma，
F=kx．
随着x的增大，F增大，F₁减小，保持a不变，
当m与挡板分离时，F₁减小到零，则有：
mgsinθ-kx=ma，
又x=

1

2

at²
联立解得 mgsinθ-k?

1

2

at²=ma，
所以经历的时间为 t=

2m(gsinθ-a) ka

．
（2）球和挡板分离后做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时物体所受合力为零．
即 kx_m=mgsinθ，
解得 x_m=

mgsinθ

k

．
所以速度最大时运动的路程为

mgsinθ

k

．
答：（1）从挡板开始运动到球与挡板分离所经历的时间t是

2m(gsinθ-a) ka

．
（2）从挡板开始运动到小球的速度达到最大，球所经过的路程是

mgsinθ

k

．