Question

如图所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m电阻为r的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v₁匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，导体棒同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．
（1）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（2）求导体棒所达到的恒定速度v₂；
（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中R消耗的电功率各为多大？

Answer 1

分析：（1）为使导体棒能随磁场运动，导体棒所受的阻力最大不能超过此时所受的安培力，根据E=BLv₁、I=

E

R+r

、F=BIL，求出安培力即可求解．
（2）当导体棒所达到的恒定速度v₂时，回路中总感应电动势为E=BL（v₁-v₂），电流I=

E

R+r

、F=BIL得到安培力表达式，根据平衡条件求得v₂；
（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功即为克服阻力做功的功率，由P=fv₂求解．根据公式P=I²R求解电路中R消耗的电功率．

解答：解：（1）当磁场以速度v₁匀速向右移动时，则有
   E=BLv₁、I=

E

R+r

、F=BIL，
联立得到  安培力为F=

B2L2v1

R+r

为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过F，即阻力最大值为
f_m=F=

B2L2v1

R+r

（2）导体棒所达到的恒定速度v₂时，根据E=BL（v₁-v₂），I=

E

R+r

，
得导体棒所受的安培力F=BIL=

B2L2(v1-v2)

R+r

由于速度恒定时，则有：

B2L2(v1-v2)

R+r

=f，
可得：v₂=v₁-

f(R+r)

B2L2

（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功即克服阻力做功的功率为
 P_导体棒=Fv₂=fv₂=fv1-

f2(R+r)

B2L2

电路中R消耗的电功率为
  P_电路=I²R=

E2R

(R+r)2

=

B2L2(v1-v2)2R

(R+r)2

=

f2R

B2L2

答：（1）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过

B2L2v1

R+r

．
（2）导体棒所达到的恒定速度v₂为v₁-

f(R+r)

B2L2

．
（3）导体棒以恒定速度v₂运动时，单位时间内克服阻力所做的功为fv1-

f2(R+r)

B2L2

，电路中R消耗的电功率为

f2R

B2L2

．

点评：本题的解题关键推导安培力的表达式，安培力是联系电磁感应与力学知识的桥梁，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律等等知识即得到其表达式．