Question

如图所示，有n个相同的货箱沿同一条直线停放在倾角为θ的斜面上，每个货箱长皆为l，质量皆为m，相邻两货箱间距离为l，最下端的货箱到斜面底端的距离也为l．现给第1个货箱一适当的初速度v₀，使之沿斜面下滑，在每次发生正碰后（碰撞时间很短），发生碰撞的货箱都粘合在一起运动，当动摩擦因数为μ时，最后第n个货箱恰好停在斜面底端．求：
（1）第一个货箱碰撞第二个货箱前瞬间的速度v₁；
（2）设第一次碰撞过程中系统损失的机械能为△E_k1，第一 次碰撞前的瞬间第一个货箱的动能为E_k1，求

△Ek1

Ek1

的比值；
（3）整个过程中由于碰撞而损失的机械能．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出货箱的加速度，根据速度位移公式求出第一个货箱碰撞第二个货箱前瞬间的速度．
（2）根据动量守恒定律求出第一次碰撞后的共同速度，根据能量守恒定律求出碰撞损失的机械能，从而得出

△Ek1

Ek1

的比值．
（3）加速度与质量无关，说明每次碰后货箱沿斜面下滑的加速度大小均为a，方向沿斜面向上．在整个过程中，序号为1，2，3，…，n的货箱沿斜面下滑的距离分别为nl，（n-1）l，（n-2）l，…，求出货箱重力势能的减小量以及摩擦产生的热量，根据能量守恒定律求出整个过程中由于碰撞而损失的机械能．

解答：解：（1）由于第n个货箱被碰后，运动到斜面底端停下，表明货箱沿斜面做减速运动，设第一个货箱的加速度为a，由牛顿第二定律，得
μmgcosθ-mgsinθ=ma
 解得a=μgcosθ-gsinθ
又因为：v12-v02=-2al
得：v1=

v02-2gl(μcosθ-sinθ)

（2）第一，二两货箱碰撞过程中动量守恒，即
mv₁=（m+m）v₂
上述过程中损失的机械能为 △EK1=

1

2

mv12-

1

2

(m+m)v22
而 EK1=

1

2

mv12
联立以上各式，得

△Ek1

Ek1

=

1

2

（3）加速度与质量无关，说明每次碰后货箱沿斜面下滑的加速度大小均为a，方向沿斜面向上．在整个过程中，序号为1，2，3，…，n的货箱沿斜面下滑的距离分别为nl，（n-1）l，（n-2）l，…，l，因此，除碰撞瞬间外，各货箱由于滑动而产生的摩擦热为
Q=μmglcosθ（1+2+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ
货箱的重力势能的减少量为
△E_p=mglsinθ（1+2+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
全过程中，由能量守恒定律，得
△Ep+

1

2

mv02=Q+△E，则
△E=

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mglsinθ-

n(n+1)

2

μmglcosθ．
答：（1）第一个货箱碰撞第二个货箱前瞬间的速度v1=

v02-2gl(μcosθ-sinθ)

．
（2）

△Ek1

Ek1

的比值为

1

2

．
（3）整个过程中由于碰撞而损失的机械能△E=

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mglsinθ-

n(n+1)

2

μmglcosθ．

点评：本题综合考查了动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律，综合性较强，对数学的能力要求较高．