Question

7．如图为一单摆的共振曲线，
（1）共振时的最大振幅多大？则该单摆的摆长约为多少？
（2）作出其振动图线（以单摆在右边最大位移处计时）
（3）并求出它最大加速度和最大速度．

Answer 1

分析 （1）从图中可以读出最大振幅，根据频率求出周期，再用周期公式求摆长；
（2）根据振幅和周期作出振动图线；
（3）先受力分析，根据牛顿第二定律求最大加速度，根据机械能守恒解出最大速度；

解答 解：（1）从共振曲线中可知：最大振幅A=8cm；
单摆周期T=$\frac{1}{{f}_{固}}$=2s；
其中f_固=f_驱=0.5Hz
单摆的周期公式 $T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$
解得该单摆的摆长L=1m；    
（2）根据最大振幅A=8cm，T=2s，可作振动图线如右图（B）所示；
（3）对于单摆，在摆角很小时（θ＜5°）有${f}_{切}=mgsinθ=mg\frac{A}{L}$
所以最大加速度$a=\frac{{f}_{切}}{m}=g\frac{A}{L}=0.8m/{s}^{2}$
单摆摆动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{m}=mg{h}_{A}=mgL（1-cos{θ}_{m}）$
所以${v}_{m}^{2}=2gL（1-cos{θ}_{m}）$
而1-cosθ_m═$2si{n}^{2}\frac{{θ}_{m}}{2}=2（\frac{A}{2L}）^{2}$
所以${v}_{m}=A\sqrt{\frac{g}{L}}$=0.25m/s；
答：（1）共振时的最大振幅为8cm，该单摆的摆长约为1m；
（2）作出其振动图线如图所示（以单摆在右边最大位移处计时）；
（3）它最大加速度为0.8m/s²，最大速度为0.25m/s．

点评 本题考查对共振曲线的理解能力．对于共振关键要抓住条件：驱动力频率等于单摆的固有频率．