Question

14．如图所示，倾角为θ的斜面上，有一质量为m的箱子，箱子与斜面的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ）．则：
（1）用最小的拉力拉箱子沿斜面匀速向上运动，这个最小拉力多大？
（2）若用这个最小拉力沿水平方向拉放在该斜面上的木块，使木块匀速下滑，则这个木块质量多大？（木块与斜面的动摩擦因数也为μ）

Answer 1

分析 （1）根据物体的运动情况，对物体受力分析，建立坐标系，进行正交分解，列x、y方向的等式，结合f=μN求解，求出F的表达式，用数学中三角函数最值求解
（2）与（1）类同，

解答 解：拉力F拉箱子沿斜面匀速向上运动，

根据物体平衡条件得：
x：Fcosα=f+mgsinθ…①
y：Fsinα+N=mgcosθ…②
f=μN…③
联立①②③式，解得：$F=\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{cosα+μsinα}$
当cosα+μsinα取最大即cosα+μsinα=$\sqrt{1+{μ}^{2}}$时F最小
即：F=$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$
（2）沿水平方向拉放在该斜面上的木块，使木块匀速下滑，物体的质量m'，

根据物体平衡条件得：
x：Fcosθ+f=m'gsinθ…④
y：N=mgcosθ+Fsinθ…⑤
f=μN…⑥
联立④⑤⑥式，解得：m'=$\frac{m（sinθ+μcosθ）（cosθ+μsinθ）}{\sqrt{1+{μ}^{2}}（sinθ-μcosθ）}$
答：（1）用最小的拉力拉箱子沿斜面匀速向上运动，这个最小拉力为$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$；
（2）若用这个最小拉力沿水平方向拉放在该斜面上的木块，使木块匀速下滑，则这个木块质量为$\frac{m（sinθ+μcosθ）（cosθ+μsinθ）}{\sqrt{1+{μ}^{2}}（sinθ-μcosθ）}$．

点评 考查共点力平衡条件，三角函数最值问题，很多学生总是死记硬背一些结论如支持力压力N=mg或mgcosθ，概念转变慢，不能理解，教条，总是在范相同错误，不能按照先受力分析，采用力的合成法或正交分解法，列式求解．