题目内容

精英家教网如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通．两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为-q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），在C点正下方紧靠N板的A点，无初速经电场加速后从C点进入磁场，与圆筒发生两次碰撞后从C点射出．已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回．求：
（1）大致画出粒子运动的轨迹；
（2）筒内磁场的磁感应强度大小；
（3）带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间；
（4）若带电粒子与圆筒发生N次碰撞后从C点射出．求带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间．
分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，与圆筒垂直碰撞后返回，每个圆弧轨迹为三分之一圆周；
（2）对直线加速过程运用动能定理列式求解出圆周运动的速度；根据几何关系求解圆周运动的轨道半径；然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解出磁感应强度；
（3）根据运动学公式求解出粒子从A到C的时间，圆周运动的实际刚好为半个周期，从C到A时间与A到C时间相等；
（4）粒子从A到C和从C到A世间不变，在磁场中运动时间求出总的圆心角后列式求解即可．
解答：解：（1）如图所示；
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（2）由题意知，带电粒子从C孔进入，与筒壁碰撞2次再从C孔射出
由qE=
1
2
mv2
粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为v=
2qE
m

由r=
mv
qB
，即Rcot30°=
mv
qB

得：B=
1
R
2mE
3q
（3）粒子从A到C的加速度为a=
qE
md
，d=
a
t
2
1
2

粒子从A到C的时间为t1=
2d
a
=d
2m
qE

粒子在磁场中运动的时间为t2=
T
2
=
πm
qB

将（1）求得的B值代入，得t2=πR
3m
2qE

求得：t=2t1+t2=
m
qE
(2
2
d+
3
2
πR)
（4）设碰撞n次，则对应的一小段圆弧的圆心角为：180°-
360°
n+1
；
故圆周运动的时间为：t2′=
(n+1)(180°-
360°
n+1
)
360°
T=
n-1
2
T=(n-1)
πm
qB
；
将（1）求得的B值代入，得t2′=π(n-1)R
3m
2qE

粒子从A到C的加速度为a=
qE
md
，d=
a
t
2
1
2

粒子从A到C的时间为t1=
2d
a
=d
2m
qE

求得：t′=2t1′+t2=
m
qE
[2
2
d+
3
2
(n-1)πR]
答：（1）粒子运动的轨迹如图；
（2）筒内磁场的磁感应强度大小为
1
R
2mE
3q
；
（3）带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间为
m
qE
(2
2
d+
3
2
πR)；
（4）带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间为
m
qE
[2
2
d+
3
2
(n-1)πR]．
点评：本题关键明确带电粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后根据几何关系求解出半径，再根据动能定理和牛顿第二定律列式求解，难题．
练习册系列答案
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mv0
Bq
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3
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，该平面离碗底的距离h=
 
．

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