Question

地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R=1.50×10¹¹m，运转周期为T=3.16×107s．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期，如图甲或图乙所示，该行星的最大视角θ=14.5°．求：
（1）该行星的轨道半径r和运转周期T₁（sin14.5°=0.25，最终计算结果均保留两位有效数字）
（2）若已知地球和行星均为逆时针转动，以图甲和图乙为初始位置，分别经过多少时间能再次出现观测行星的最佳时期．（最终结果用T、T₁、θ 来表示）

Answer 1

分析：（1）当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大，根据几何关系求出行星的轨道半径，再通过开普勒第三定律求出运转的周期．
（2）地球和行星均为逆时针转动，当再次出现观测行星的最佳时期时角度存在这样的关系，ωt-ω₁t=（π±2θ），根据该关系求出再次出现观测行星的最佳时期的时间．

解答：解：（1）由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大
可得行星的轨道半径r为：r=Rsinθ代入数据得r=3.8×10¹⁰m
设行星绕太阳的运转周期为T′，由开普勒第三定律：有

R3

T2

=

r3

T 2 1

代入数据得T′=4.0×10⁶s
（2）当再次出现观测行星的最佳时期时角度关系为：ωt-ω₁t=（π±2θ），
即

2π

T

t-

2π

T1

t=π±2θ
解得：t=

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

．
答：（1）该行星的轨道半径r和运转周期T₁分别为3.8×10¹⁰m、4.0×10⁶s．
（2）经过

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

再次出现观测行星的最佳时期．

点评：本题对数学几何能力的要求较高，会根据几何关系求出行星的轨道半径，以及会通过角度关系求出再次出现观测行星的最佳时期的时间．