Question

3．如图，在0≤x≤a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在x＞a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小也为B，质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子沿x轴从原点O射入磁场．（粒子重力忽略不计）
（1）若粒子以v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$的速度射入磁场，求其轨迹与x轴交点的横坐标；
（2）为使粒子返回原点O，粒子的入射速度应为多大？

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场时做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，列式求出轨迹半径．根据粒子在0＜x≤a中运动半径求出其对应的圆心角，通过x＞a的区域后，离开磁场时与x轴垂直，说明圆心在x轴上，根据几何关系即可求得横坐标；
（2）根据题干确定粒子的运动轨迹，结合几何关系求出粒子的半径，进而确定初速度

解答 解：（1）带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设轨迹半径为R．
根据洛伦兹力提供向心力得 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由题，v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$，得 R=$\sqrt{2}$a
带电粒子的运动轨迹如图甲所示，O₁、O₂分别为轨迹的圆心，由几何关系可得θ=45°．
O₁A=O₂A=2a
O₂B=AO=O₁A-R=（2-$\sqrt{2}$）a
则BC=$\sqrt{{O}_{2}{C}^{2}-{O}_{2}{B}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-[（2-\sqrt{2}）a]^{2}}$=2$\sqrt{\sqrt{2}-1}$ a
则轨迹与x轴交点横坐标为：
 x=O₂A+BC=2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a
（2）粒子的运动轨迹如图乙所示，设此时轨迹半径为r，则由几何关系可得
 r-rcosθ=rcosθ
则cosθ=0.5，即θ=60°
则轨迹半径r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
而Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 则v=$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．
答：
（1）其轨迹与x轴交点的横坐标为2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a；
（2）为使粒子返回原点，粒子的入射速度应为$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．

点评 对于带电粒子在磁场中的运动问题，关键正确画出粒子运动轨迹，运用几何知识求相关角度或距离，需要注重提高学生的数形结合思想．