Question

10．如图所示，表面粗糙的足够长斜面体倾角θ=37°，动摩擦因数为0.5，固定在水平地面上．物体A以v₁=20m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方有一物体B以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B击中．（A、B均可看做质点，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g 取10m/s²）求：
（1）物体A上滑到最高点所用的时间t；
（2）物体B抛出时的初速度v₂的大小；
（3）物体A、B间初始位置的高度差h．

Answer 1

分析 （1）对物体A进行受力分析，可以根据牛顿第二定律求出A上滑的加速度，再由匀变速直线运动的速度公式可以求得A运动的时间；
（2）由几何关系得出B平抛运动的水平位移，结合时间求出初速度v．
（3）物体A、B间初始位置的高度差等于A上升的高度和B下降的高度的和，A上升的高度可以由A的运动求出，B下降的高度就是自由落体的竖直位移．

解答 解：（1）设物体A上滑过程中，其加速度大小为a，则由牛顿第二定律得：
mgsin 37°+μmgcos 37°=ma      
即a=gsin 37°+μgcos 37°=10×0.6+0.5×10×0.8=10 m/s²
由0=v₁-at     
代入数据得：t=2 s．
（2）A的水平位移和B的水平位移相等，即：x=$（{v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}）cos37°$=16m
B在水平方向上匀速，所以其平抛初速度大小为：v₂=$\frac{x}{t}=\frac{16}{2}=8$m/s
（3）物体A、B之间的初始位置高度差等于A上升的高度和B下降的高度之和，则：
${h}_{A}=（{v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}）sin37°$；${h}_{B}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又：h=h_A+h_B
联立得：h=32 m．
答：（1）物体A上滑到最高点所用的时间是2s；
（2）物体B抛出时的初速度v₂的大小是8m/s；
（3）物体A、B间初始位置的高度差是32m．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住与A运动的时间相等，水平位移相等，结合牛顿第二定律和运动学公式进行处理．