Question

19．如图所示，木块A放在木板B的最右端，A的质量m_A=1kg，B的质量m_B=1kg，木块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ₂=0.15，g取10m/s²，设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，木板足够长．
（1）加在木板上的力F满足什么条件时，A、B会一起向右加速运动？
（2）木板B受到F=6N的外力作用，t=5s后辙去外力，此后经过多长时间A、B达到共速？
（3）满足（2）中条件，求最终A在B上的位置？
（4）满足（2）中条件，求整个过程中系统产生的热量．

Answer 1

分析 （1）当AB刚好运动时，求F的最小值．当AB间刚好滑动时，由牛顿第二定律求F的最大值，从而得到F的条件．
（2）根据牛顿第二定律分别求出A、B的加速度，由速度时间公式求出共速所用时间．
（3）由位移公式求出两者相对于地面的位移，再得到A相对B的位移，从而确定最终A在B上的位置．
（4）根据相对位移与摩擦力大小的乘积求AB间摩擦生热．由摩擦力与B的位移乘积求出B与地间摩擦生热，从而得到总热量．

解答 解：（1）当F=μ₂（m_A+m_B）g=0.15×（1+1）×10N=3N，AB开始相对于地面运动．
当AB间刚好滑动时，两者间的静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律得：
对A有：μ₁m_Ag=m_Aa_m；
对AB整体有：F-μ₂（m_A+m_B）g=（m_A+m_B）a_m；
联立解得 F=5N
所以加在木板上的力F满足条件：3N＜F≤5N时，A、B会一起向右加速运动．
（2）F=6N时A相对B滑动，根据牛顿第二定律得：
对A有：μ₁m_Ag=m_Aa_A；解得 a_A=1m/s²．
对B有：F-μ₂（m_A+m_B）g-μ₁m_Ag=m_Ba_B；解得 a_B=2m/s²．
木板B受到F=6N的外力作用t=5s时A的速度为 v_A=a_At=5m/s
B的速度为 v_B=a_Bt=10m/s
撤去F后，B的加速度大小为 μ₂（m_A+m_B）g+μ₁m_Ag=m_Ba_B′，解得 a_B′=4m/s²．方向水平向左．
设撤去F后，经过时间t′两者速度相同，则有
  v=v_B-a_B′t′=v_A+a_At′
解得 t′=1s，v=6m/s
（3）由于a_A＜a_B′，所以AB共速后不会相对静止，而发生相对滑动，此后过程中，B的加速度大小为
a_B″=$\frac{{μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）g-{μ}_{1}{m}_{A}g}{{m}_{B}}$=2m/s²．
设B经过时间t₁停止运动，A经过时间t₂停止运动．
则有 t₁=$\frac{v}{{a}_{B}″}$=3s，t₂=$\frac{v}{{a}_{A}}$=6s
整个过程中，A的位移为 x_A=$\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$+$\frac{{v}_{A}+v}{2}t′$+$\frac{v}{2}{t}_{2}$
解得 x_A=36m
B的位移为 x_B=$\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$+$\frac{{v}_{B}+v}{2}t′$+$\frac{v}{2}{t}_{1}$
解得 x_B=42m
所以A在B滑动的距离 S=x_B-x_A=6m
故最终A在B上的位置距A的右端6m．
（4）整个过程中系统产生的热量 Q=μ₁m_AgS+μ₂（m_A+m_B）gx_B．
代入数据解得 Q=132J
答：
（1）加在木板上的力F满足条件：3N＜F≤5N时，A、B会一起向右加速运动．
（2）木板B受到F=6N的外力作用，t=5s后辙去外力，此后经过1s时间A、B达到共速．
（3）满足（2）中条件，最终A在B上的位置距A的右端6m处．
（4）满足（2）中条件，整个过程中系统产生的热量是132J．

点评 解决本题时要根据受力情况判断运动情况，分段运用牛顿第二定律和运动学公式研究，边计算边分析．要知道摩擦生热与相对位移有关．