Question

1．在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向左上方（如图所示）．现有一质量为m，电量为q的正离子，从y轴上的A点沿y轴正方向以初速度υ₀开始运动，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大．求：

（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径．画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出C点的坐标；
（2）根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式与牛顿第二定律、运动学公式，即可求解；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示：

磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$…②
由几何知识知：x_C=-（r+rcos45°）=-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$…③
故，C点坐标为（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）…④
（2）设粒子从A到C的时间为t₁，由题意知：t₁=$\frac{5}{8}$T=$\frac{5πm}{4qB}$…⑤
设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，
由牛顿第二定律和运动学知识，有：
qE=ma…⑥2v₀=at₂…⑦
联立⑤⑥解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$…⑧
设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意知：
t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$…⑨
故粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$…⑩
（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类似平抛的运动，沿着υ₀的方向（设为x′轴）做匀速运动，即：
x′=v₀t₄ （11）v_x′=v₀ …（12）
沿着qE的方向（设为y′轴）做初速为0的匀变速运动，即：
y′=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₄²…（13）v_y′=$\frac{qE}{m}$t₄   …（14）
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为υ，速度方向与电场方向的夹角为α，
由图中几何关系知：tan45°=$\frac{y′}{x′}$…（15）
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+v{′}_{y}^{2}}$…（16）
tanα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$…（17）
由（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）解得：
v=$\sqrt{5}$v₀
α=arctan$\frac{1}{2}$；
答：（1）C点的坐标为（-$\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$，0）；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间为$\frac{7πm}{4qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小为$\sqrt{5}$v₀，速度方向与电场方向的夹角为arctan$\frac{1}{2}$．

点评 本题是粒子在电场和磁场中运动的问题，电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解，磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹．