Question

4．如图所示，一内壁光滑的环形细圆管，由支架竖直支立在水平地面上．环形细圆管的环形半径为R（比细圆管的半径大得多）．在环形细圆管中有A、B两小球（可视为质点）沿顺时针方向运动．设A、B两小球的质量均为m，环形细圆管的质量为2m，若A球以速率v₁运动到最低点时，B球恰以速率v₂运动到最高点，此刻支架对环形细圆管的支持力为mg．请导出v₁与v₂和R的关系式．

Answer 1

分析 若A球以速率v₁运动到最低点时，B球恰以速率v₂运动到最高点时支架对环形细圆管有支持力，说明B球运动到最高点时对管道有向上的压力，管道对B球有向下的压力．根据牛顿第二定律分别对A、B球进行列式，再结合细管力平衡求解．

解答 解：据题，A球以速率v₁运动到最低点时，B球恰以速率v₂运动到最高点时支架对环形细圆管有支持力，则知B球运动到最高点时对管道有向上的压力，则管道对B球有向下的压力．
根据牛顿第二定律得：
对A球有：N_A-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
对B球有：mg+N_B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
据题分析有：N_A-N_B=mg
联立解得 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR
答：v₁与v₂和R的关系式为 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR．

点评 本题的关键是确定B球所受的弹力方向，再确定向心力的来源，由牛顿第二定律解答．