Question

我国探月工程计划在2015年以前通过无人驾驶的轨道飞行器，在月球上进行采样工作，以此方式执行最初的登月计划，并最终实现中国人登上月球．假设2017年7月7日，我国宇航员乘“嫦娥五号”飞船到月球上考察．宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱与人的总质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响．
（1）返回舱至少需要多大速度才能绕月飞行，不再落回月面？
（2）卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成．已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为E_P=-GMm/r．则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

Answer 1

（1）月球对返回舱的引力F应是其运动所受的向心力．则有
   G

Mm

R2

=m

v2

R

 ①
在月球表面上，返回舱和人所受到的万有引力近似等于重力，则．
 G

Mm

R2

=mg₀．②
可得v=

g0R

故返回舱至少需要

g0R

的速度才能绕月飞行，不再落回月面．
（2）设轨道舱的质量为m₀，速度大小为v，则
 G

Mm0

r2

=m₀

v2

r

，得v=

GM r

则宇航员乘坐返回舱与轨道舱进行对接时，具有的动能为：
E_K=

1

2

mv²=G

Mm

2r

因此返回舱返回过程中克服引力做的功为
W=-G

Mm

r

-（-G

Mm

R

）=G

Mm

R

-G

Mm

r

由能量守恒可知返回舱返回时至少需要能量
E=E_K+W=G

Mm

2r

+G

Mm

R

-G

Mm

r

=G

Mm

R

-G

Mm

2r

=mg₀R（1-

R

2r

）
答：
（1）返回舱至少需要有

g0R

的速度才能绕月飞行，不再落回月面．
（2）该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得mg₀R（1-

R

2r

）能量才能返回轨道舱．