Question

我国探月工程计划在2015年以前通过无人驾驶的轨道飞行器，在月球上进行采样工作，以此方式执行最初的登月计划，并最终实现中国人登上月球．假设2017年7月7日，我国宇航员乘“嫦娥五号”飞船到月球上考察．宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱与人的总质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响．

  (1)返回舱至少需要多大速度才能绕月飞行，不再落回月面?

  (2)卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成．已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为E_P=-GMm/r．则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱?

Answer 1

（1）V=（2）　E = E_K+W = GMm/R—GMm/2r 或  E=mg₀R(1—R/2r) 

解析:

(1)月球对返回舱的引力F应是其运动所受的向心力。

        GMm／R₂=mV²/R ①

在月球表面上，返回舱和人所受到的万有引力近似等于物体的重力，则．   

GMm／R² = mg_o．②

    可得V=

    (2)设轨道舱的质量为m_o，速度大小为V，则   

    ．    GMm₀/r²=m₀v²/ r

    解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱进行对接时，具有的动能为：  

        E_K= 1/2 mV²=GMm/2r

       因此返回舱返回过程中克服引力做的功为   

    　　W=一GMm／r一(一GMm／R)=GMm／R—GMm/r

    由能量守恒可知返回舱返回时至少需要能量

   　　　E = E_K+W = GMm/R—GMm/2r

    或    E=mg₀R(1—R/2r)