Question

17．如图所示，水平轨道AHB的B端与半径R=0.2m的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，半径OC水平，H点左侧光滑，HB间粗糙，HB长L=2m，光滑轨道AB上有P、Q两个物体（可视为质点），P物体的质量m_P=0.4㎏，Q物体的质量m_Q=0.05kg，P、Q两个物体分别与一轻弹簧两端栓接，开始时弹簧处于原长，两物体均处于静止状态，物体Q被水平速度为v₀=20m/s，质量m=0.05kg的子弹击中（打击时间极短），子弹嵌在其中，当物体P的速度第一次达到最大值时，弹簧与物体P的栓接处突然脱落（此时P尚未运动到H点）物体P运动至B点后滑上竖直轨道且没有脱离该圆弧轨道，g取10m/s，求：

（1）子弹打击物体Q后，物体Q获得的速度；
（2）运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）轨道HB间动摩擦因数的范围．

Answer 1

分析 （1）对子弹和物体Q组成的系统，运用动量守恒求出物体Q获得的速度．
（2）当三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，结合动量守恒求出共同的速度，根据能量守恒求出运动过程中弹簧的最大弹性势能．
（3）根据动量守恒和能量守恒求出弹簧第一次恢复原长时，物体P和Q的速度，抓住物体不会离开轨道，通过讨论：1、物体在BC间速度为零，2、物体恰好通过最高点，结合动能定理和牛顿第二定律求出动摩擦因数的范围．

解答 解：（1）设子弹射入木块Q时，二者的共同速度为v_Q，取子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒得，
mv₀=（m_Q+m）v_Q，
解得${v}_{Q}=\frac{m{v}_{0}}{{m}_{Q}+m}=\frac{0.05×20}{0.05+0.05}$=10m/s．
（2）当三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，规定向右为正方向，由系统动量守恒得，
（m_Q+m）v_Q=（m_P+m_Q+m）v_PQ，
代入数据解得v_PQ=2m/s，
根据能量守恒得，${E}_{p}=\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{P}+{m}_{Q}+m）{v}^{2}$，
代入数据解得E_p=4J．
（3）当弹簧第一次恢复原长时，物体P的速度最大，
规定向右为正方向，由动量守恒得，（m_Q+m）v_Q=（m_Q+m）v_Q′+m_pv_p′，
由能量守恒得，$\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{{v}_{Q}}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{Q}+m）{v}_{Q}{′}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
代入数据联立解得v_p′=4m/s，v_Q′=-6m/s
①若物体P运动至BC间某点速度为零，物体也不会脱离轨道，满足：$0＜\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}≤{m}_{p}gR$，
则B点速度$0＜{v}_{B}≤\sqrt{2gR}$，
从H到B的过程中，由动能定理得，$-μ{m}_{p}gL=\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
代入数据解得0.3≤μ＜0.4．
②若物体P恰好能过D点也不会脱离轨道，满足：
${m}_{p}g=\frac{{m}_{p}{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
${m}_{p}g•2R+\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{D}}^{2}≤\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}$，
B点的速度有：$\sqrt{5gR}≤{v}_{B}$，
从H到B的过程，由动能定理得，$-μ{m}_{p}gL=\frac{1}{2}{m}_{p}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}{′}^{2}$，
解得μ≤0.15，
因此，轨道HB间动摩擦因数的范围为：μ≤0.15或0.3≤μ＜0.4．
答：（1）子弹打击物体Q后，物体Q获得的速度为10m/s；
（2）运动过程中弹簧的最大弹性势能为4J；
（3）轨道HB间动摩擦因数的范围：μ≤0.15或0.3≤μ＜0.4．

点评 本题考查了动量守恒定律、能量守恒定律、动能定理、牛顿运动定律的综合运用，综合性较强，对学生能力要求较高，知道三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大．注意物体不离开轨道，要分情况讨论，即物体不越过四分之一轨道或过最高点都不会脱离轨道．