题目内容
【题目】如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。
【答案】
【解析】
解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以
表示地球绕太阳运动的周期，则
；以
表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则
，根据开普勒第三定律，有
（2）
设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
（3）
（4）
由图1可知，P点的坐标
（5）
（6）
把（5）、（6）式代入（1）式化简得
（7）
根据求根公式可得
（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
(9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
(10)
式中m为彗星的质量．以
表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（11）
得
（12）
代入有关数据得
(13)
设P点速度方向与
的夹角为
(见图2)，根据开普勒第二定律
（14）
其中
为面积速度，并有
（15）
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
（16）
解法二
取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为
，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为
（1）
其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知
（2）
将（2）式代入（1）式可得
（3）
以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有
（4）
在近日点
，由（3）式可得
（5）
将
、
、
的数据代入（3
（6）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能
(7)
式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（8）
可得
（9）
代入有关数据得
(10)
设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为
，再根据角动量守恒定律，有
（11）
根据（8）式，同理可得
（12）
由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据
(13)
【题目】在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图连接起来进行探究。在弹性限度内将50g的钩码逐个挂在弹簧下端，依次得到指针A、B的示数
和
如表所示。
钩码数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15.71 | 19.71 | 23.70 | 27.72 |
| 29.96 | 35.76 | 41.51 | 47.36 |
(1)由表中数据可知，该刻度尺的最小刻度值为________mm。某次测量如图所示，指针示数为________cm。
(2)用表中数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为________N/m（结果保留三位有效数字，重力加速度g取
）。由表中数据_________（填“能”或“不能”）计算出弹簧Ⅱ的劲度系数。
