题目内容
如图所示，在直角坐标系xOy决定的平面内，有两个同心圆，外侧圆半径为R1，内侧圆半径为R2，圆心为O．两圆之间的圆环内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸内．在圆心O处有一质子源，沿y轴负方向发射质子流，质子流中质子的速度范围为0～v．结果有的质子从内侧圆离开磁场，有的质子从外侧圆离开磁场．已知质子带电量为e，质量为m，不考虑质子通过磁场后再进入磁场的情况．（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长；
（2）质子在磁场中运动的最长时间．
分析：该题是属于有边界磁场的问题，解决此题，首先要根据题意画出质子的轨迹图，确定轨迹与外侧圆相切时，轨迹的弧长最长，根据相关的数学知识即可求出轨迹弧长的最大值．由带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式T=
可知，周期与运动半径及速度没有关系，运动时间与轨迹所对应的圆心角有关，所以只要求出最大的圆心角，也就可以求出在磁场中运动的最长时间了．
| 2πm |
| qB |
解答：
解：（1）由题意可知，轨迹圆与外侧圆相切时，对应的质子离开内侧圆的弧长最长，设圆半径为r，如图所示，由几何关系可得：
r2+
=(R1-r)2
tanθ=
联立以上两式解得：
θ=arctan(
)
所以，所有质子通过的内侧圆的弧长：
L=2θ?R2
∴L=2R2arctan(
)
（2）质子运动周期：
T=
如图所示，质子从内侧圆离开对应的最大圆心角为：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，质子从内侧圆离开的质子在磁场中运动的最长时间为：
tmax=T?
=m
．
从外侧圆离开的质子速度更大，弧长更短，所以在磁场中运动的时间比tmax小，tmax即为质子在磁场中运动的最长时间．
答：（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长为2R2arctan(
)．
（2）质子在磁场中运动的最长时间为m
．
解：（1）由题意可知，轨迹圆与外侧圆相切时，对应的质子离开内侧圆的弧长最长，设圆半径为r，如图所示，由几何关系可得：r2+
| R | 2 2 |
tanθ=
| r |
| R2 |
联立以上两式解得：
θ=arctan(
| ||||
| 2R1R2 |
所以，所有质子通过的内侧圆的弧长：
L=2θ?R2
∴L=2R2arctan(
| ||||
| 2R1R2 |
（2）质子运动周期：
T=
| 2πm |
| eB |
如图所示，质子从内侧圆离开对应的最大圆心角为：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，质子从内侧圆离开的质子在磁场中运动的最长时间为：
tmax=T?
| α |
| 2π |
π+2arctan(
| ||||||
| eB |
从外侧圆离开的质子速度更大，弧长更短，所以在磁场中运动的时间比tmax小，tmax即为质子在磁场中运动的最长时间．
答：（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长为2R2arctan(
| ||||
| 2R1R2 |
（2）质子在磁场中运动的最长时间为m
π+2arctan(
| ||||||
| eB |
点评：该题考察了带电粒子在磁场中运动的临界问题，可分为：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等．审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字．
解决此类问题，找圆心、画轨迹是解题的基础．带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题．
解决此类问题，找圆心、画轨迹是解题的基础．带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题．
练习册系列答案
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