Question

8．发射某探月卫星时，首先使其环绕地球表面做圆周运动，线速度为v₁，环绕周期为T₁，月球附近时，控制卫星使其绕月球表面做圆周运动，线速度为v₂，环绕周期为T₂，若两球的质量分别为M₁，M₂，则$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$（　　）

• A． $\frac{{{T}_{1}v}_{2}}{{{T}_{2}v}_{1}}$
• B． $\frac{{{T}_{1}v}_{2}^{3}}{{{T}_{2}v}_{1}^{3}}$
• C． $\frac{{{T}_{1}v}_{1}}{{{T}_{2}v}_{2}}$
• D． $\frac{{{T}_{1}v}_{1}^{3}}{{{T}_{2}v}_{2}^{3}}$

Answer 1

分析 根据圆周运动的公式求出轨道半径，根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求解中心体的质量表达式．

解答 解：发射某探月卫星时，首先使其环绕地球表面做圆周运动，线速度为v₁，环绕周期为T₁，
绕地球表面做圆周运动的轨道半径r₁=$\frac{{{v}_{1}T}_{1}}{2π}$，
月球附近时，控制卫星使其绕月球表面做圆周运动，线速度为v₂，环绕周期为T₂，
轨道半径r₂=$\frac{{{v}_{2}T}_{2}}{2π}$，
根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
解得$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{T}_{1}v}_{1}^{3}}{{{T}_{2}v}_{2}^{3}}$，
故选：D．

点评 正确的根据万有引力提供向心力得出速率、周期与中心天体半径和质量的关系是解决本题的关键．