Question

4．如图所示，在竖直平面内，半径为2R的四分之一圆弧轨道AB与半径为R的半圆轨道BC在B点平滑连接，C、A两点在同-水平线上，C、B两点在同一竖直线上（中点为O），圆弧AB上的D点与O点等高．一个质量为m的小物块自距A点高为R的P点自由下落，从A点沿切线进入圆弧轨道AB后，恰能通过最高点C．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小物块在运动过程中（　　）

• A． 从P点到C点合外力做功为mgR
• B． 从P点到C点克服摩擦力做功$\frac{1}{2}$mgR
• C． 经过B点前后瞬间，小物块对轨道的压力将变小
• D． 小物块从C点飞出后，应落在圆弧轨道BD之间

Answer 1

分析 从P点到C点合外力做功等于小物块动能的变化．根据小物块恰能通过最高点C，由重力提供向心力，求出物块通过C点时的速度，再由动能定理求合外力做功．并由合外力做功等于各个力做功的代数和求克服摩擦力做功．在B点，由合力提供向心力，由牛顿定律分析经过B点前后瞬间小物块对轨道的压力如何变化．小物块离开C点后，由平抛运动的规律和几何知识结合分析落点的位置．

解答 解：A、小物块恰能通过最高点C，由重力提供向心力，则 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
从P点到C点，由动能定理得：合外力做功 W_合=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0=$\frac{1}{2}$mgR，故A错误．
B、根据W_合=mgR-W_f，得克服摩擦力做功 W_f=$\frac{1}{2}$mgR．故B正确．
C、经过B点前后瞬间，小物块的速率不变，以物块为研究对象，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{r}$，因轨道半径减小，则轨道对小物块的支持力变大，由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力将变大，故C错误．
D、小物块从C点飞出后做平抛运动，则有 x=v_Ct，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由几何关系有 x²+y²=（2R）²．
解得 t²=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{g}$，y=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$R≈0.618R＜R，所以小物块从C点飞出后，应落在圆弧轨道AD之间，故D错误．
故选：B

点评 对于圆周运动，要把握临界条件，知道物块恰好通过C点时重力等于向心力．对于有条件的平抛运动，要挖掘隐含的几何关系，分析水平位移和竖直位移的关系．