Question

如图（一）所示的竖直平面内有范围足够大、水平向右的匀强电场，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内．直杆MN、PQ水平且足够长，MNAP段是光滑的（其中A点是半圆环的中点），PQ段是粗糙的．现有一质量为m、带电+q的小环甲（可视为质点）套在MN杆上，它所受电场力为其重力的0.5倍．

（1）将小环甲从N点左侧8R处由静止开始释放，如图（一），且知小环甲与直杆PQ间的动摩擦因数为μ（μ＞0.5，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），求小环甲在水平杆PQ上通过的路程．
（2）若另一质量也为m、不带电的绝缘小环乙（视为质点）套在MN杆上的N点，如图（二），现从NM杆上的D点由静止释放小环甲，小环甲此后与乙碰撞时间极短，且碰后瞬间两者速度相同但不粘连，乙环沿NAP运动到P点时刚好停止，求DN间的距离x₀．

Answer 1

分析：（1）由于小环与PQ间的动摩擦因数μ＞0.5，所以小环最终速度为零，应用能量的转化与守恒定律，可求解．
（2）由动能定律表示出碰撞前甲的速度，碰撞后对AB游动量守恒、动能定理列式，最后乙刚好到达P点，对乙应用机械能守恒，联立可求解．

解答：解：（1）因为μ＞0.5，甲在PQ上运动s停下时，由于电场力小于摩擦力，将不再运动，对整个运动过程，由动能定理：qE?8R-mg?2R-qE?s-?μmgs=0
得：s=

2R

0.5+μ

=

4R

1+2μ

（2）甲、乙在N点碰撞前，设甲的速度为v，甲从D点到N点，由动能守理有：qEx0=

1

2

mv2
设甲、乙在N点碰撞后的速度为v_N，由动量守恒守律有：
mv=2mv_N
甲、乙整体从N点到A点，由动能定理有：-2mgR+qER=

1

2

?2m?

v

2 A

-

1

2

?2m?

v

2 N

碰后甲乙共同运动到A点分离，由乙刚好能达到P点，从A到P，对乙由机械能守恒定律：mgR=

1

2

m

v

2 A

由已知  qE=0.5mg
联立以上各式得：x₀=14R
答：（1）小环甲在水平杆PQ上通过的路程是

4R

1+2μ

．
（2）DN间的距离为14R．

点评：运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，根据动能定理、机械能守恒，列出表达式求解．