Question

如图甲所示，M、N是水平放置的一对金属板，其中M板中央有一个小孔O，两极板加一电压U．AB是一长4L的轻质绝缘细杆，在杆上等间距为L地固定着5个完全相同的带正电小球，每个小球的电荷量为q、质量为m．现将最下端小球置于O处，然后将AB由静止释放，AB在运动过程中始终保持竖直．当极板电压为U₀时，经观察发现，在第2个小球进入电场到第3个小球进入电场这一过程中AB做匀速运动．设两金属板间距足够大，求：
（1）两板间电场强度E； 
（2）上述匀速运动过程中速度的大小v₁；
（3）第4个小球在O处时速度的大小v₂
（4）设第1个小球进入电场到第2个进入电场经历的时间为t₀，为了让第2个小球进入电场起AB一直做匀速运动，则电压U随时间t如何变化？请在图乙中画出．

Answer 1

（1）据题，在第2个小球进入电场到第3个小球进入电场的过程中AB做匀速运动，电场力与重力平衡，则有
   2qE=5mg，得：E=

5mg

2q

（2）研究第1个小球进入电场的过程，根据动能定理得：
  5mgL-qEL=

5

2

mv₁²  解得：v₁=

gL

（3）研究第3个小球进入电场的过程，根据动能定理得
5mg?3L-3qEL-2qEL-qEL=

5

2

mv₂²  
将E=

5mg

2q

代入，得：v₂=0
（4）第1个小球进入电场到第2个进入电场，AB做匀加速运动，为了让第2个小球进入电场起AB一直做匀速运动，设每通过L位移的时间为t，则有
     L=

v1

2

t0，L=v₁t，则得：t=2t₀．
第2个小球进入电场时，有：
  5mg=2q

U0

d

…①
要使AB做匀速运动，第3个小球进入电场时
    5mg=3q

U3

d

…②
第4个进入小球电场时
    5mg=4q

U4

d

…③
第5个进入小球电场时


    5mg=5q

U5

d

…④
将②③④式与①式相比较，得到
   U3=

2

3

U0，U4=

1

2

U0，U5=

2

5

U0
作出图象如右图．（图象最后两段数据对应的是

1

2

U₀和

2

5

U₀．
答：（1）两板间电场强度E为

5mg

2q

；
（2）上述匀速运动过程中速度的大小v₁为

gL

．
（3）第4个小球在O处时速度的大小v₂为0．
（4）电压U随时间t的图象如图所示．