Question

7．如图所示，在水平地面上有一倾角为θ的光滑固定斜面，在斜面底端的正上方高度为h处平抛一小球A，同时在斜面底端一物块B以某一初速度沿斜面上滑，当其滑到最高点时恰好与小球A相遇，小球A和物块B均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）

• A． 物块B沿斜面上滑的初速度为$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+sinθ}2gh}$
• B． 物块B沿斜面上滑的高度$\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}$h
• C． 小球A在空中运动的时间为$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
• D． 小球A水平抛出时的初速度为sinθcosθ$\sqrt{\frac{gh}{2（1+si{n}^{2}θ）}}$

Answer 1

分析 物块沿斜面向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律求出B上滑的加速度，通过运动学公式求出上滑的时间和位移，从而得出A平抛运动的水平位移，结合时间求出B的初速度．根据平抛运动的规律求A的初速度．

解答 解：A、根据牛顿第二定律得，B上滑的加速度为：$a=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，B上滑的最大位移为：x=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2gsinθ}$，运动的时间${t}_{B}=\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$，
对于A球，有：
h-xsinθ=$\frac{1}{2}g{{t}_{A}}^{2}$，
因为 t_A=t_B，所以联立得：
h-$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2gsinθ}$•sinθ=$\frac{1}{2}g（\frac{{v}_{B}}{gsinθ}）^{2}$，
解得B沿斜面上滑的初速度为：
v_B=$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}2gh}$，故A错误．
B、物体B上滑的高度H=xsinθ=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2gsinθ}sinθ$=$\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}$h，故B正确．
C、小球A在空中运动的时间为：t_A=$\sqrt{\frac{2（h-xsinθ）}{g}}＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$，故C错误．
D、因为${t}_{A}=\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$，小球A水平抛出时的初速度为：v₀=$\frac{xcosθ}{{t}_{A}}$，综合${t}_{A}=\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$，v_B=$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1+si{n}^{2}θ}2gh}$，解得${v}_{0}=sinθcosθ\sqrt{\frac{gh}{2（1+si{n}^{2}θ）}}$，故D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键是要抓住A与B运动的时间相等，水平位移相等，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．