Question

【题目】过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠，如果小球恰能通过第二圆形轨道。如果要使小球不能脱离轨道，试求在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件。（重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。）

Answer 1

【答案】或

【解析】

设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意

①

②

由①②得 ③

要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足

④

⑤

由④⑤得 ⑥

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理

⑦

解得 ⑧

为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足

⑨

解得：R3=27.9m ⑩

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或 ⑾