Question

18．如图所示，质量为M和m物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，M放在倾角为37°光滑斜面上，斜面固定在地上，穿过直杆的物块m可沿杆无摩擦地滑动．已知M=5kg，m=1.8kg，杆与斜面间的距离L=4m，sin37°=0.6，cos37°=0.8．试求：
（1）当m在B位置时恰好能使两物块静止，求此时绳与杆的夹角a和杆对m的支持力的大小：
（2）将m从A点无初速度释放（此时OA段绳子水平），求m的最大速度及下滑的最大距离h_AC．

Answer 1

分析 （1）分别对m、M受力分析，根据力的合成与分解法则，结合平衡条件，即可列式求解；
（2）由第（1）可知，物块在B处速度最大，根据运动的合成法则，可知，它们的速度关系，再根据系统机械能守恒定律，从而求得m的最大速度；若m到达C点速度恰好为零，对m和M组成的系统，再运用机械能守恒，即可求解．

解答 解：（1）当m、M处于静止状态时，设绳子的拉力为T，
则有，对M：T=Mgsin37°
对m：竖直方向：Tcosα=mg
水平方向：Tsinα=F_N；
由以上三式，可解得：α=53°
F_N=24N；
（2）物块在B处速度最大，m的最大速度为v，M的速度为v₁，
M、m的速度关系为：v₁=vsin37°
由系统的机械能守恒可得：$mgLtan37°=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$+$Mg（\frac{L}{cos37°}-L）sin37°$
解得：v=$\frac{2}{3}\sqrt{30}$m/s；
当m到达C点时，M上升的高度为：h′=（$\sqrt{{h}_{AC}^{2}+{L}^{2}}-L$）sin37°；
若m到达C点速度恰好为零，对m和M组成的系统，由机械能守恒得：
mgh_AC=Mg（$\sqrt{{h}_{AC}^{2}+{L}^{2}}-L$）sin37°
代入数据解得：h_AC=7.5m．
答：（1）此时绳与杆的夹角53°和杆对m的支持力的大小24N；
（2）m的最大速度$\frac{2}{3}\sqrt{30}$m/s，及下滑的最大距离7.5m．

点评 考查受力平衡条件的应用，掌握力的合成与分解的法则，理解机械能守恒定律的条件，注意m速度最大位置，即为加速度为零的位置，及m的速度为零的位置，即为下滑最大位移，是解题的突破口．