Question

如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧a、b被两小球夹住，同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求：
①两小球的质量比．
②若m_a=m_b=m，要求a，b都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律得出最高点的速度，根据机械能守恒定律列出等式求解
（2）由动量守恒定律得出速度关系，根据机械能守恒定律求解．

解答：解：（1）根据牛顿第二定律得a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为：
v′_a=

gR

…①
v′_b=

gr

…②
由动量守恒定律m_av_a=m_bv_b…③
根据机械能守恒定律得

1

2

mav

2 a

=

1

2

mav′

2 a

+m_ag?2R…④

1

2

mbv

2 b

=

1

2

mbv′

2 b

+m_bg?2r…⑤
联立①②③④⑤得

ma

mb

=

r R

 
（2）若m_a=m_b=m，由动量守恒定律得：v_a=v_b=v
当a、b球恰好能通过圆轨道的最高点时，E_弹最小，
根据机械能守恒得：
E_p=（

1

2

m(

gR

  )2+mg?2R）×2=5mgR
答：①两小球的质量比是

r R

．
②若m_a=m_b=m，要求a，b都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有5mgR弹性势能．

点评：解决该题关键能判断出小球能通过最高点的条件，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解．