题目内容
如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一个小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零． 试求①．小球在甲圆形轨道最高点时的速率？
②．小球在经过C点时的速率？
③．CD段的长度？
分析：小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球经过C点时的速率．根据动能定理求解CD的长度．
解答：解：
①设小球通过C点时的速度为vC，通过甲轨道最高点的速度为v1，根据小球对轨道压力为零，则有
mg=m
解得 v1=
②取轨道最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
mvC2=mg?2R+
mv12
解得 vC=
③同理可得小球通过D点时的速度vD=
．
设CD段的长度为l，对小球通过CD段的过程，由动能定理得
-μmgl=
mvD2-
mvC2
解得：l=
答：
①．小球在甲圆形轨道最高点时的速率为
．
②．小球在经过C点时的速率为
．
③．CD段的长度是l=
．．
①设小球通过C点时的速度为vC，通过甲轨道最高点的速度为v1，根据小球对轨道压力为零，则有
mg=m
| v12 |
| R |
解得 v1=
| gR |
②取轨道最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得 vC=
| 5gR |
③同理可得小球通过D点时的速度vD=
| 5gr |
设CD段的长度为l，对小球通过CD段的过程，由动能定理得
-μmgl=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得：l=
| 5(R-r) |
| 2μ |
答：
①．小球在甲圆形轨道最高点时的速率为
| gR |
②．小球在经过C点时的速率为
| 5gR |
③．CD段的长度是l=
| 5(R-r) |
| 2μ |
点评：本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用．在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似，最高点的速度是v=
．
| gr |
练习册系列答案
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（2011?信阳二模）如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道．通过动摩擦因数为μ的CD段，若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，且CD段的动摩擦因数为μ，试求水平CD段的长度．
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