Question

2．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时可带动小球一起在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，已知绳a与水平方向成θ角，绳b在水平面内，绳b长为l且能承受的最大拉力为T，重力加速度为g，求保证小球在图示位置做匀速圆周运动时，轻杆绕轴转动的角速度满足的条件．

Answer 1

分析 当角速度为最小值时，绳b的拉力为零，小球靠a绳的拉力和重力提供向心力，当角速度最大时，绳b达到最大拉力，小球靠重力、绳子a、b拉力的合力提供向心力，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律进行求解．

解答 解：当角速度为最小值时，绳b的拉力为零，小球靠a绳的拉力和重力提供向心力，
根据牛顿第二定律得，$mgcotθ=ml{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}$，
当角速度最大时，绳b达到最大拉力，小球靠重力、绳子a、b拉力的合力提供向心力，
在竖直方向上有：T_asinθ=mg，
水平方向上有：${T}_{a}cosθ+T=ml{{ω}_{2}}^{2}$，
联立解得ω₂=$\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．
则角速度满足的条件是$\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}≤ω＜\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．
答：轻杆绕轴转动的角速度满足的条件为$\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}≤ω＜\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源分析，知道小球竖直方向合力为零，这是解决本题的关键．