Question

如图所示：质量 M = .040 kg的靶盒A位于光滑水平导轨上，开始时静止在O点，在O点右侧有范围很广的“相互作用区域”，如图中划虚线部分，当靶盒A进入相互作用区时便指向O点的恒力F= 20N作用，P处有一固定的发射器B，它可根据需要瞄准靶盒每次发射一颗水平速度 v ₀ = 50m / s ，质量m = .010kg的子弹，当子弹打入靶盒A后，便留在盒内，碰撞时间极短。今约定，每当靶盒A 停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒A内。
⑴ 当第一颗子弹进入靶盒A后，靶盒A离开O点最大距离为多少？
⑵ 当第三颗子弹进入靶盒A后，靶盒A从离开O点到又回到O点所经历时间为多少？
⑶ 求发射器B至少发射几颗子弹后，靶盒A在相互作用区内运动的距离不超过0.2m？

Answer 1

(1)设第一颗子弹进入靶盒A后，子弹与靶盒A共同速度为V₁。根据碰撞过程系统动量守恒，有：mV₀ = (m + M ) V₁² (1)设A离开O点的最大距离为S₁ ，根据动能定理有：-FS₁ = 0 - (m + M) V₁/2 (2 )由(1)、(2)式得S₁ = 1.25 m (3)评分标准：(1)、(2)、(3)式各2分(2) 根据题意，A在恒力F作用下返回O点时第二颗子弹打入，由于A的动量与第二颗子弹动量大小相同、方向相反，第二颗子弹打入后A将静止在O点。设第三颗子弹打入A后，它们的共同速度为V₃由系统动量守恒：mV₀ = (M +3 m ) V₃ (4)设A从离开O点到又回到O点经历时间为t ，且碰后A运动方向为正方向，由动量定理得：-Ft / 2 = 0 - (M +3 m ) V₃ (5)由 (4)、(5) 两式得：t = 0.5 s (6)评分标准：必要文字叙述 1 分，(4)、(5)、(6)三式各2分(3) 设B 至少发射n颗子弹，且碰后A的速度为V_n 由系统动量守恒：mV₀ = (M + n m ) V_n (7)由动能定理：-FS_n = 0 - (M +nm ) V_n² /2 (8)根据题意：S_n < 0.2 m (9)由 (7 ) 、(8 )、( 9 ) 式得：n >27 所以B至少发射28颗子弹 (10)评分标准：( 9 ) 式 1分，其余各式各2分