Question

19．如图所示，质量为2m的木板静置于光滑水平面上，其左端固定有一轻质弹簧，弹簧自然伸长时右端在b点处，木板的Ob段是光滑的，ab段长为L，现有一质量为m的滑块（可视为质点）以大小为v₀的水平初速度从a点滑上木板，弹簧获得的最大能量是滑块初动能的$\frac{1}{4}$，重力加速度为g．求：
①滑块与木板ab段间的动摩擦因数μ；
②滑块能否滑离木板？如能，求滑块滑离a点时的速度大小v；如不能，求最终静止时滑块与a点的距离x．

Answer 1

分析 ①当滑块与木板的速度相同时，弹簧获得的弹性势能最大．根据系统的动量守恒和能量守恒分别列式，即可求得动摩擦因数μ．
②根据动量守恒定律和能量守恒定律求出滑块与木板相对静止时，滑块在ab段相对于木板滑行的距离，与L比较，可分析滑块能否滑离木板．

解答 解：①当滑块与木板的速度相同时，弹簧获得的弹性势能最大．取向左为正方向．根据动量守恒定律得：
mv₀=（m+2m）v．
根据能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²+E_p+μmgL
据题有：E_p=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$mv₀²
联立解得：μ=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{24gL}$．
②设滑块最终与木板静止时共同速度为v′，滑块在ab段相对于木板滑行的距离为S．根据动量守恒定律得：
mv₀=（m+2m）v′．
根据能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v′²+μmgS
联立解得：S=1.6L＜2L
所以滑块不能滑离木板，最终静止时滑块与a点的距离为：
x=2L-S=0.4L
答：①滑块与木板ab段间的动摩擦因数μ是$\frac{5{v}_{0}^{2}}{24gL}$；
②滑块不能滑离木板，最终静止时滑块与a点的距离x是0.4L．

点评 分析清楚物体运动过程，抓住系统的动量守恒和能量守恒是解题的关键．要知道产生的内能与物体相对位移的大小有关．