Question

11．如图，某同学在一次实验测试中，利用弹簧枪将质量为m的钢珠以某一初速度从A点水平射出，发现钢珠能够恰好从弯曲圆管BCD的B点无撞击地进入圆弧，最终从圆管的最高点D射出后落到斜面上的E点，已知两圆弧的半径为均R，且A与D在同一水平线上，图中角θ=60°，斜面上O′到E点距离也为R，求
（1）钢珠从弹簧枪射出时的速度v₀的大小；
（2）在D点处钢珠对管壁的作用力；
（3）钢珠在圆管中运动时克服阻力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出平抛运动下降的高度，从而求出竖直方向上的分速度，根据运动的合成和分解求出初速度的大小．
（2）根据平抛运动知识求出小球在D点的速度，再根据牛顿第二定律求出管壁对小球的弹力作用．
（3）对A到D全程运用动能定理，求出小球在圆管中运动时克服阻力做的功．

解答 解：（1）小球从A到B：
竖直方向，${v}_{y}^{2}$=2gR（1+cos60°）=3gR
则v_y=$\sqrt{3gR}$                                        
在B点，由速度关系v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan60°}$=$\sqrt{gR}$                          
（2）小球从D到E：
竖直方向，R（1+cos60°）=$\frac{1}{2}$gt²                  
 解得：t=$\sqrt{\frac{3R}{g}}$                                               
小球在水平方向做匀速直线运动，则小球从D点抛出的速度v_D=$\frac{Rsin60°}{t}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$                 
在D点，由向心力公式得：mg-N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$                       
解得：N=$\frac{3}{4}$mg，方向竖直向上                     
（3）从A到D全程应用动能定理：-W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$              
解得：W_f=$\frac{3}{8}$mgR
答：（1）小球从A点做平抛运动的初速度v₀的大小为$\sqrt{gR}$．
（2）在D点处管壁对小球的作用力N为$\frac{3}{4}$mg，方向竖直向上．
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功W_f=$\frac{3}{8}$mgR

点评 本题综合考查了平抛运动和圆周运动的基础知识，难度不大，关键搞清平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．